Question

已知二次函数y=x2+ax+a-2 （1）证明：不论a取何值，抛物线y=x2+ax+a-2的顶点Q总在x轴的下方；

已知二次函数y=x2+ax+a-2
（1）证明：不论a取何值，抛物线y=x2+ax+a-2的顶点Q总在x轴的下方；
（2）设抛物线y=x2+ax+a-2与y轴交于点C，如果过点C且平行于x轴的直线与该抛物线有两个不同的交点，并设另一个交点为点D，问：△QCD能否是等边三角形？若能，请求出相应的二次函数解析式；若不能，请说明理由．（3）在第二小题的条件下，有设抛物线与X轴的交点之一为点A，则能使三角形ACD的面积等于四分之一的抛物线有几条？请证明你的结论。

Answer 1

(1)y=x^2+ax+a-2
=(x+a/2)^2+a-a^2/4-2
=(x+a/2)^2-(a/2-1)^2-1
因为-(a/2-1)^2-1<0
抛物线y=x2+ax+a-2的顶点Q(-a/2,-(a/2-1)^2-1),总在x轴下方
(2) C点坐标（0，a-2），D点坐标（-a，a-2）
设QC的直线方程y=kx+a-2
将Q点坐标代入直线方程，得
a-a^2/4-2=k(-a/2)+a-2
k=a/2
如果 a/2=√3
当 a=2√3时，△QCD为等边三角形
二次函数解析式：y=x^2+2√3x+2√3-2
(3) CD=a，OC=a-2
三角形ACD的面积=CD*OC/2=1/4
则 a*(a-2)/2=1/4
a^2-2a=1/2
(a-1)^2=3/2
a=1±√6/2
有两条抛物线，其中a=1+√6/2，a=1-√6/2。