Question

已知实数x,y满足3X-4Y+15=0,则x^2+y^2的最小值为_______

Answer 1

把3x－4y＋15＝0看成坐标平面内的直线方程，则x^2＋y^2的最小值就是直线上的点到坐标原点的最小距离，也就是原点到直线3x－4y＋15＝0的最小距离，显然是原点到直线的垂线段，最小值为：d＝|3×0－4×0＋15＝0|/√(3^2＋4^2)＝3

Answer 2

解：
由x²+y²=(√(x²+y²))²
可知x²+y²的最小值是原点到直线3x-4y+15=0的距离的平方
原点为(0,0)
则到直线距离d=|15|/√(3²+4²)
即d=15/5=3
所以距离平方为3²=9
即x²+y²的最小值为9

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Answer 3

此题可以采用换元法：
设x2+y2=r2，令x=rcosα，y=rsinα，则3r rcosα-4 rsinα+15=0,
5rsin（α+β）=15,r=3/ sin（α+β）,当sin（α+β）=1时，r取到最小值3，所以x2+y2取到最小值9.