Question

一道函数题:已知函数f(x)=k+√x-2 ，若在其定义域内存在区间[a,b]，使得f(x)在区间[a,b]上的值域也是[a,b]

已知函数f(x)=k+√x-2 ，若在其定义域内存在区间[a,b]，使得f(x)在区间[a,b]上的值域也是[a,b],求实数k的取值范围
（√x-2 ）是一个整体，2在根号里边

Answer 1

已知函数f(x)=k+√(x-2) ，若在其定义域内存在区间[a,b]，使得f(x)在区间[a,b]上的值域也是[a,b],求实数k的取值范围
解析：∵函数f(x)=k+√(x-2)，∴其定义域为x>=2
F‘(x)=1/[2√(x-2)]>0
∴函数在定义域内单调增；
令k+√(x-2)=x
==>x-2=x^2+k^2-2kx==>x^2-(2k+1)x+k^2+2=0
X1=[(2k+1)-√(4k-7)]/2，X2=[(2k+1)+√(4k-7)]/2
∵在其定义域内存在区间[a,b]，使得f(x)在区间[a,b]上的值域也是[a,b]
∴x^2-(2k+1)x+k^2+2=0只要存在二个不等的实数解x1,x2，且2<=x1<x2即可
⊿=(2k+1)^2-4(k^2+2)=4k-7>0==>k>7/4
[(2k+1)-√(4k-7)]/2>=2==>(2k+1)-√(4k-7)>=4==>(k-2)^2>=0
∴k>7/4

追问

因为有两解，k还应该小于等于2

追答

解析：∵函数f(x)=k+√(x-2)，∴其定义域为x>=2
F‘(x)=1/[2√(x-2)]>0
∴函数在定义域内单调增；
令h(x)=k+√(x-2)-x
令h’(x)=1/2(x-2)^(-1/2)-1=0==>x=9/4
h’’(x)=-1/4(x-2)^(-3/2)>0
∴函数h(x)在x=9/4处取极大值h(9/4)=k-7/4
∵在其定义域内存在区间[a,b]，使得f(x)在区间[a,b]上的值域也是[a,b]
∴h(x)=k+√(x-2)-x=0只要存在二个不等的实数解x1,x2，且20==>k>7/4，且x1k’=1-1/2(x-2)^(-1/2)=0==>x=9/4
函数g(x)在x=9/4处取极小值g(9/4)=7/4
当x=2时k=g(2)=2
∴令g(x)=x-√(x-2)=2==>x1=2,x2=3
∴在f(x)其定义域内存在区间[2,3]，使得f(x)在区间[2,3]上的值域也是[2,3]
∴7/4<k<=2

Answer 2

根据函数增减性来算。。因为k是实数，-2是实数，√x是增函数，所以f（x）＝√x-2 k为增函数。。因为a≤x≤b，且x必定大于0，所以不等式两边同取根号，即√a≤√x≤√b，不等式两边同时加上k-2'得√a k-2≤f（x）≤√b k-2即f（x）的值域为上式不等式（手机码字太累了）所以√a k-2≤a，√b k-2≥b，解两个不等式就可以了，我在床上躺着，楼主就自行拿笔算吧。。几年没碰数学了，不知道对不对，不对请无视，坐等大神给出答案←_←

追问

我打的不好，那个2在根号里边。。。。。。。。

追答

-_-||。。。还是可以用增减性算只是我该睡觉了，有没有笔和纸，如果明天有时间就帮你算算。。不过这样的题不是很难，看看书应该能找到解决办法的。。楼主我相信你。。孩子，加油吧