Question

如图，矩形OABC的边OA在x轴正半轴上，边OC在y轴的正半轴上，B点的坐标为（1,3）。

如图，矩形OABC的边OA在x轴正半轴上，边OC在y轴的正半轴上，B点的坐标为（1,3）。矩形A'BC'O'是矩形OABC绕点B逆时针旋转的得到的.O’点在x轴的正半轴上，O′C′交AB于点D。
（1）求点O′的坐标，并判断△O′DB的形状（要说明理由）
（2）求边C′O′所在直线的解析式．
（3）延长BA到M使AM=1，在（2）中求得的直线上是否存在点P，使得△POM是以线段OM为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

(1)由旋转性质可知OB=O'B
再根据垂弦定律可知OA=AO'=1
所以O'的坐标（2，0）
△O′DB是等腰三角形
∵AO'=1=BC'
用角角边很容易证明△C'DB≌△AO'D=>BD=DO'
(2)C'O'直线实际上就是DO'直线
D点坐标可先求AD
设AD=X,那么O'D=3-X
AD^2=O'D^2-O'A^2
X^2=(3-X)^2-1
得x=4/3∴D(1,4/3)
设C'O'：Y=KX+b
4/3=k+b
0=2k+b
k=-4/3,b=8/3
C'O'：y=-4/3x+8/3
(3)AM=1,易得M点坐标（1，-1）OM=√2 用观察法都能看出O'点可以是p点（2，0）
还有就用x=y与y=-4/3x+8/3联立求得x=8/7，y=8/7
p点（8/7，8/7）
因为OM的斜率=-1要垂直就要k=1，再分别以o，m为直角求解析式 和 c'o‘的解析式的交点
就是p点了