Question

F(x)=x^2+ax-lnx g(x)=e^x f(x)/g(x)在x属于(0,1]上单调增 求a的取值范围

速解答

Answer 1

令h（x）=f（x）/g（x）=（x^2+ax-lnx）/e^x
得到h‘（x）=（2x+a-1/x-x^2-ax+lnx）/e^x
而f(x)/g(x)在x属于(0,1]上单调增 得到h’（x）>=0在(0,1]恒成立
得到 2x+a-1/x-x^2-ax+lnx>=0在(0,1]恒成立
即 a（1-x）>=1/x+x^2-2x-lnx在(0,1]恒成立
当x=1时，得到0>=0 成立a为R
当0<x<1式， 得到a>=(1/x+x^2-2x-lnx)/(1-x)在(0,1)恒成立
令L（x）=(1/x+x^2-2x-lnx)/(1-x) 得到L‘（x）=[（-1/x^2+2x-2-1/x）(1-x)+(1/x+x^2-2x-lnx)]/(1-x)^2
=(1/x-1/x^2-x^2+2x-1-lnx)/(1-x)^2
1/x-1/x^2-x^2+2x-1-lnx的导数是-1/x^2+1/x^3-2x+2-1/x<0
推出L（x）=(1/x+x^2-2x-lnx)/(1-x) <0恒成立
得到a>=0