Question

初三数学题，求解！！！

（大意）有三个不在一条直线上的点ABC，现作一点P使到三点距离最短P（不是相等！）求画法及证明。

Answer 1

以下是托里析利的方法：以AB，AC为边向外作两个正三角形其外接圆交于A和P。过A的PA的垂线、过B的PB的垂线、过C的PC的垂线交成△XYZ，如图。按作图方法知道∠APB=120，但∠PBX=∠PAX=90，于是∠X=60，同理∠Y=∠Z=60，则△XYZ是等边三角形。假定有一个不与P重合的点P'，过P'向这个等边三角形引垂线P'A'、P'B'、P'C'，注意到直角三角形斜边大于直角边，又考虑一下维维亚尼定理(正三角内的点到三边距离之和为定值)，于是 
 P'A +P'B +P'C 
>P'A'+P'B'+P'C' 
=PA +PB +PC 

其最小性得证。于是也导出一种画法：以AB、BC为边向外作一个正三角形，再作其外接圆，两个圆就交于费马点。很巧在托里析利 300 年后的匈牙利著名数学家李兹（ Frederick Riesz ）也给出同样的方法。                                                 

                             

Answer 2

向△ABC外作正△ABA'，作其外接圆交A'C于P，P就是费马点。
又或者向△ABC外任作两正△,把它的顶点连接相对的三角形顶点,产生的2条连线交点为费马点.
楼下的不要误人……

Answer 3

就是三角形ABC的重心啦。

Answer 4

找到2个相距最远点，连接取中点，再连另外一个点