Question

已知函数f(x)=x^3-ax^2+3x，若x=3是f(x)的一个极值点

(1)求f(x)的单调区间 (2)设g(x)=e^xf'(x)，求g(x)在区间[1,5]上的最大值和最小值。

Answer 1

f'(x)=3x^2-2ax+3=0
代入x=3
3*9-6a+3=0
9-2a+1=0
a=5
f'(x)=3x^2-10x+3=(3x-1)(3x-3)>0 x>1 or x<1/3时是增的
xE[1/3,1]是减的.
g(x)=e^x(3x^2-10x+3)
g'(x)=e^x(3x^2-10x+3)+e^x(6x-10)=e^x(3x^2-4x-7)>0
(3x-7)(x+1)>0 x>7/3 or x<-1为增, xE[-1,7/3]为减.
xE[1,7/3]时,减,xE[7/3,5]增
x=7/3取最小,最大可能是f(1) or f(5)
f(7/3)=e^(7/3) (3*49/9-70/3+3)=-4e^(7/3)
f(5)=e^5(3*25-50+3)=28e^5
f(1)=e(3-10+3)=-4e
最大:28e^5 ,最小-4e^(7/3)

Answer 2

解：题意得 3是f′(x)=3x^2-2ax+3=0的解∴27-6a+3=0∴a=5∴f′(x)=3x^2-10x+3=0的x=3或者1/3
当x<1/3或者x>3时，f′(x)>0∴单调递增
当1/3<x<3时，f′(x)<0，∴单调递减
（2）g(x)=e^x(3x^2-10x+3),g′(x)=e^x(3x^2-4x-7)=0的x=-1或者7/3
∴g(1)=-4e, g(7/3)=-4e^(7/3) ,g(5)=28e^5
∴在【1,5】上的最大值：28e^5.。最小值：-4e^(7/3)

Answer 3

f'(x)=3x^2-2ax+3=0
代入x=3
3*9-6a+3=0
9-2a+1=0
a=5
f'(x)=3x^2-10x+3=(3x-1)(3x-3)>0
x>1
or
x<1/3时是增的
xE[1/3,1]是减的.
g(x)=e^x(3x^2-10x+3)
g'(x)=e^x(3x^2-10x+3)+e^x(6x-10)=e^x(3x^2-4x-7)>0
(3x-7)(x+1)>0
x>7/3
or
x<-1为增,
xE[-1,7/3]为减.
xE[1,7/3]时,减,xE[7/3,5]增
x=7/3取最小,最大可能是f(1)
or
f(5)
f(7/3)=e^(7/3)
(3*49/9-70/3+3)=-4e^(7/3)
f(5)=e^5(3*25-50+3)=28e^5
f(1)=e(3-10+3)=-4e
最大:28e^5
,最小-4e^(7/3)