Question

高数证明题 求大神帮帮忙

如图 怎么证明 是高数问题 谢谢

Answer 1

因为f(a)+f(x1)+f(x2)=3
所以f(a),f(x1),f(x2)中至少存在一个函数值大于等于1
（若f(a)<1,f(x1)<1,f(x2)<1，则f(a)+f(x1)+f(x2)<3与题意不符）
且f(a),f(x1),f(x2)中至少存在一个函数值小于等于1
（若f(a)>1,f(x1)>1,f(x2)>1，则f(a)+f(x1)+f(x2)>3与题意不符）
因为函数f(x)在[a,b]上连续
所以根据介值定理，存在x*∈[a,max(x1,x2)]，使得f(x*)=1
又因为f(b)=1，函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导
所以根据罗尔中值定理，存在c∈(x*,b)，使得f'(c)=0
所以存在c∈(a,b)，使得f'(c)=0

Answer 2

设max{x1,x2}=x0,则函数f(x)在区间[a,x0]连续，设最大最小值为M和m,那么：
m《[f(a)+f(x1)+f(x2)]/3《M
由介值性定理，存在点ξ∈[a,x0]，使：f(ξ)=[f(a)+f(x1)+f(x2)]/3=1
由于f(ξ)=f(b)=1，由罗尔定理，存在c∈(ξ,b)(c当然属于(a,b))，使：f'(c)=0

Answer 3

由于该函数是闭区间上连续函数，故必有最小值和最大值，分别记为m和M，带入已知的等式，知m<=1<=M，由介值定理，知在闭区间上必存在一点x3，使f（x3）=1，由洛尔定理即证得

Answer 4

这个好像用介值定理中的零点定理的，你做做吧，一下子想不起来，不好意思！