Question

（cosx）^3的原函数怎么求，带过程

Answer 1

原函数：sinx-(sinx^3)/3+C

计算过程如下：

∫ (cosx)^3 dx

=∫ (cosx)^2*cosx dx

=∫ (cosx)^2dsinx

=∫（1-(sinx)^2） dsinx

=∫1 dsinx-∫(sinx)^2 dsinx

=sinx-1/3*(sinx)^3+C

原函数的意义：

设f(x)在[a,b]上连续，则由 曲线y=f(x)，x轴及直线x=a，x=b围成的曲边梯形的面积函数是f(x)的一个原函数.若x为时间变量，f(x)为直线运动的物体的速度函数，则f(x)的原函数就是路程函数。

已知作直线运动的物体在任一时刻t的速度为v=v(t),要求它的运动规律 ，就是求v=v(t)的原函数。原函数的存在问题是微积分学的基本理论问题，当f(x)为连续函数时，其原函数一定存在。

Answer 2

∫(cosx)^3dx 

=∫(1-sin^2 x)dsinx 

=∫dsinx-∫sin^2 x dsinx 

=sinx-1/3 *∫dsin^3 x 

=sinx-(sin^3 x)/3+C

原函数存在定理

若函数f(x)在某区间上连续，则f(x)在该区间内必存在原函数，这是一个充分而不必要条件，也称为“原函数存在定理”。

函数族F(x)+C(C为任一个常数）中的任一个函数一定是f(x)的原函数，

故若函数f(x)有原函数，那么其原函数为无穷多个。

例如：x3是3x2的一个原函数，易知，x3+1和x3+2也都是3x2的原函数。因此，一个函数如果有一个原函数，就有许许多多原函数，原函数概念是为解决求导和微分的逆运算而提出来的。

Answer 3

见图

Answer 4

1/4＊（sin x )4