Question

用球面坐标能不能解：计算三重积分I=∫∫∫(D)zdxdydz,其中D是上半球体x^2+y^2+z^2<=1,z>=o？怎么解？

如果能解，求解题过程。谢谢！

Answer 1

可以解

追问

现在我唯一搞不懂的是φ的范围为什么是0到π/2

追答

因为是球面的上班部分，φ的定义是OA和xOy平面的夹角，A是球面上的一点。

追问

是不是再根据z=rcosφ＞0，就得到了φ的范围。

追答

恩，不过直观的看更容易

Answer 2

在球坐标下，z=rcosφ，dv=r^2*sinφdrdφdθ。所以积分=∫dθ∫sinφcosφdφ∫r^3dr。其中θ范围0到2π，φ范围0到π/2，r范围0到1。计算可得积分=π/4.

追问

现在我唯一搞不懂的是φ的范围为什么是0到π/2