Question

谁能帮详细推导下这个公式

第二步的分母6是怎么来的？
第三步分母又怎么就变成3了？分子又变成n+1.5了呢？
S=ns

谢谢，希望进一步证明

Answer 1

先是自然数的平方求和公式。可以用归纳法或(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1这个公式来求和

第三步里的小写s与大写S应该是有个关系，估计是S=ns
这样的话根号内就变成(n+1)(2n+1)/(6n)=1/3*(n+1)[1+1/(2n)]
=1/3*[ n+1/2+1+1/(2n)]
=1/3*[n+1.5+1/(2n)]
当n很大时，略去1/(2n)这个项，就成为了(n+1.5)/3

追问

说的很对，S=ns，但是我就是数学基础不好，不会用归纳法或(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1这个公式来求和，能具体帮推一下吗？或是有这方面的资料给我或介绍给我看看也行，谢谢！

追答

(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1
将n=1, 2, ...n代入上式：
2^3-1^3=3*1^2+3*1+1
3^3-2^3=3*2^2+3*2+1
....
(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1
以上所有式子相加，得：(n+1)^3-1=3A+3B+n
而A就是1^2+2^2+..+n^2
B就是1+2+..+n=n(n+1)/2
所以有(n+1)^3-1=3A+3n(n+1)/2+n
移项，两边除以3即得A=n(n+1)(2n+1)/6

Answer 2

1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
这是个公式，可以用数学归纳法证明。

约等步骤s和S关系我们不得而知，可能之间存在某种可约等关系。