Question

如图，三角形ABC中，AB=AC,∠A=36度，CE平分∠ACD交AB于点E

⑴试说明点E为线段AB的黄金分割点
⑵若AB=4,求BC的长。

Answer 1

解：1.由于△ABC中，AB=AC，∠A=36°，所以∠ACB=∠ABC=72°，CE平分∠ACB，所以∠BCE=∠ACE=∠A=36°。所以CE=CB=AE..。在△ABC和△CBE中，∠A=∠BCE，∠B=∠B，所以△ABC∽△CBE。所以BE/BC=BC/AB。即BC²=BE.AB.。由于BC=AE。所以AE²=BE.AB..。即E把线段AB黄金分割。
,2 ，若AB=4，设BC=AE=x, 则BE=（4-x），所以有x²=4（4-x）。即x²+4x-16=0.。所以x=2根5-2.，（x=-2根5-2舍去）。所以BC=（2根5-2）。

Answer 2

证明：∵AB=AC，∠A=36°
∴∠ACB=1\2（180°-36°）=72°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠BCE=1\2∠ACB=1\2 ×72°=36°，
∴∠BCE=∠A=36°，
∴AE=BC，
又∵∠B=∠B，
∴△ABC∽△CBE，
∴AB\BC=BC\BE,
∴BC2=AB•BE，
即AE2=AB•BE，
∴E为线段AB的黄金分割点
2∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠B=∠ACB=72°，
∴∠BEC=180°-72°-36°=72°，
∴BC=CE，
由（1）已证AE=CE，
∴AE=CE=BC，
∴BC=（根号5-1）/2XAB
BC=（根号5-1）/2X4=（根号5-1）/2