Question

矩阵中 为什么矩阵的迹就是特征值的和 为什么等于第二项系数？要具体证明

Answer 1

主对角线是元素的和，线性代数中有定理：相似矩阵迹相等，而矩阵相似于它的Jordan标准型之后，迹就成为特征值的和，而从维达定理，一个方程根的和就是它的第二项系数的反号，用于特征多项式，就是你需要的结果。

奇异值分解非常有用，对于矩阵A(p*q)，存在U(p*p)，V(q*q)，B(p*q)（由对角阵与增广行或列组成），满足A = U*B*V。

U和V中分别是A的奇异向量，而B是A的奇异值。AA'的特征向量组成U，特征值组成B'B，A'A的特征向量组成V，特征值（与AA'相同）组成BB'。因此，奇异值分解和特征值问题紧密联系。

扩展资料：

特征方程¦(λ)=|λE-A|=0的根(如：λ0)称为A的特征根(或特征值)。n次代数方程在复数域内有且仅有n个根，而在实数域内不一定有根，因此特征根的多少和有无，不仅与A有关，与数域P也有关。

将一个矩阵分解为比较简单或者性质比较熟悉的矩阵之组合，方便讨论和计算。由于矩阵的特征值和特征向量在化矩阵为对角形的问题中占有特殊位置， 因此矩阵的特征值分解。尽管矩阵的特征值具有非常好的性质，但是并不是总能正确地表示矩阵的“大小”。

参考资料来源：百度百科--矩阵的迹

参考资料来源：百度百科--矩阵特征值

Answer 2

矩阵迹的定义是主对角线是元素的和，线性代数中有定理：相似矩阵迹相等。
而矩阵相似于它的Jordan标准型之后，迹就成为特征值的和，
而从维达定理，一个方程根的和就是它的第二项系数的反号。﹙的反号 你打漏！﹚
用于特征多项式，就是你需要的结果。

Answer 3

设A为n阶方阵，考虑特征多项式|λE-A|的n-1次项。
使用行列式的完全展开式，可知除了主对角线乘积(λ-a11)(λ-a22)...(λ-ann)一项外次数都小于n-1。
因此n-1次项的系数就是(λ-a11)(λ-a22)...(λ-ann)中λ^(n-1)的系数，也就是-(a11+a22+...+ann)。
特征值是特征多项式的根，由韦达定理（根与系数关系）知特征值的和 = a11+a22+...+ann。