Question

设sinα的三次方+cosα的三次方=1，则sinα+cosα=

Answer 1

sinα的三次方+cosα的三次方

≤sina+cosa
因此
sina=1,cosa=0或cosa=1,sina=0
故

sinα+cosα=0

追问

sina=1,cosa=0或cosa=1,sina=0
那sinα+cosα不应=1么

追答

噢写错了。

Answer 2

设sina+cosa=d 平方一下得
(sina)^2+2sinacosa+(cosa)^2=d^2
1+2sinacosa=d^2
sinacosa=(d^2-1)/2

(sina)^3+(cosa)^3
=(sina+cosa)[(sina)^2-sinacosa+(cosa)^2]
=d*(1-sinacosa)
=d*[1-(d^2-1)/2]=1
d[2-(d^2-1)]=2
3d-d^3=2
d^3-3d+2=0
d^3-d^2+d^2-d-2d+2=0
d^2(d-1)+d(d-1)-2(d-1)=0
(d-1)(d^2+d-2)=0
(d-1)^2(d+2)=0
d=1或d=-2
因为sina+cosa
=√2sin(a+π/4)
所以-√2<=sina+cosa<=√2
所以d=-2舍去
所以sina+cosa=1

Answer 3

另sinα+cosα=x
sin³α+cos³α=1

可化为x(3-x²)/2=1
x³-3x+2=0
(x+2)(x²-2x+1)=0
x=1
sinα+cosα=1

Answer 4

(sinα+cosα)^2= 1+2sinαcosα

sinαcosα = [(sinα+cosα)^2- 1]/2

(sinα+cosα)^3=(sinα)^3+3(sinα)^2cosα+3(sinα)(cosα)^2+(cosα)^3

=(sinα)^3+(cosα)^3+3(sinαcosα)(sinα+cosα)
= 1+3(sinαcosα)(sinα+cosα)
= 1+ (3/2)(sinα+cosα)^2- 1)(sinα+cosα)
(sinα+cosα)^3 - 3(sinα+cosα) +2 =0
[(sinα+cosα)-1]( (sinα+cosα)^2 +(sinα+cosα) -2 ) =0
[(sinα+cosα)-1]^2 .[(sinα+cosα)+2]=0

sinα+cosα=1