Question

已知函数f（x）=ax3+3x2-6ax-11，g（x）=3x2+6x+12，直线l：y=kx+9，又f′（-1）=0

是否存在K的值，使直线l既是曲线y=f(x)的切线，又是曲线y=g(x)的切线。如果存在，请求出k的值。

Answer 1

解答：
f(x)=ax³+3x²-6ax-11
∴ f′(x)=3ax²+6x-6a，
∵ f′(-1)=0，
∴ 3a-6-6a=0，
∴a=-2．
f(x)=-2x³+3x²+12x-11
f′(x)=-6x²+6x+12，
∵直线y=kx+9恒过定点(0，9)，
设直线与y=g(x)的切点是(x0，3x0²+6x0+12)，
∵ g'(x)=6x+6
∴ g′(x0)=6x0+6，
∴切线方程为y-(3x0²+6x0+12)=(6x0+6)(x-x0)
∵ 过(0,9)
∴ 9-(3x0²+6x0+12)=(6x0+6)(0-x0)
∴ 3x0²=3
∴ x0=±1，
设直线与y=f(x)的切点横坐标为x1
（1）当x0=-1时，切线方程为y=9；
∵f'(x1)=0
∴ -6x1²+6x1+12=0
∴ x1=-1或x1=2
① 当x1=-1时，切点(-1,-18)
∴ y=f(x)的切线方程为y=-18；
② 当x1=2时，切点（2,9）
∴ y=f(x)的切线方程为y=9．
即公切线是y=9
（2）当x0=1时，切线方程为y=12x+9．
∵f'(x1)=0
∴ -6x1²+6x1+12=12
∴ x1=0或x1=1
① 当x1=0时，切点(0,-11)
∴ y=f(x)的切线方程为y=12x-11；
② 当x1=1时，切点（1,2）
∴ y=f(x)的切线方程为y=12x-10．
不存在公切线
∴存在公切线是y=9，此时k=0．

Answer 2

f'(x)=3ax^2+6x-6a, 代入x=-1得：3a-6-6a=0，a=-2
f'(x)=-6x^2+6x+12=-6(x+1)(x-2)，可知f(x)有两个极值点：x=-1,x=2
并且在区间(-1,2)上单调递增，在区间(-∞, -1), (2, +∞)上单调递减
故f(x)在区间(-2,3)上的极大值为f(2)=9,极小值为f(-1)=-18