Question

已知椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的离心率为√3/2,椭圆上点P到椭圆两焦点的距离之和为4.

求椭圆C的方程
当过椭圆C的上顶点与右顶点的圆与直线3x+y+4=0相切时，求圆的方程。

Answer 1

解：根据题意得到
e=√(a^2-b^2)/a=√(1-(b/a)^2) = √3/2
得到 a = 2b
P点到两焦距之和为4， 则
2a =4
a=2 ； b=1
所以椭圆方程 为 (x^2)/4+y^2=1

可以求得 上面顶点 为 （0，1），右边 顶点为 （2，0）。
得到圆心一定在点（0，1）和（2，0）的垂直平分线上。
斜率 k = - 1/(-1/2) =2
垂直平分线方程为 y = 2x - 3/2

设圆心 坐标为 （x0， y0）， y0=2x0 -3/2
根据点到直线的距离公式得到
d1 = │3Xo＋Yo＋4│／√（3²＋1²）
=│3Xo＋2Xo -3/2＋4│／√（3²＋1²）
=│5Xo＋5/2│／√（10）
另外圆心到 其中一个顶点（2，0）的距离
d2 =√[(2-Xo)^2+(Yo)^2]
=√[(2-Xo)^2+(2Xo-3/2)^2]
=√[(2-Xo)^2+(2Xo-3/2)^2]
=√[5(Xo^2-2Xo+5/4)]
圆心到直线距离以及到点（2，0）距离相等
d1=d2
[5(Xo+1/2)]^2/10 =5(Xo^2-2Xo+5/4)
5(Xo^2 +X0 +1/4)/2 =5(Xo^2-2Xo+5/4)
Xo^2 +X0 +1/4=2(Xo^2-2Xo+5/4)
0 =Xo^2-5Xo+9/4
解得 X0=9/2 或者X0 = 1/2
带入d1和d2检验
X0= 1/2 时 d1=d2= √10 /2 满足要求
和 X0=9/2时，d1=d2= 5√10 /2 满足要求
所以 圆的方程为 （x-1/2)^2 +(y+1/2)^2= 5/2
或者 （x-9/2)^2 +(y-15/2)^2= 125/2