Question

已知椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的离心率为√3/2,椭圆上点P到椭圆两焦点的距离之和为4.

求椭圆C的方程
当过椭圆C的上顶点与右顶点的圆与直线3x+y+4=0相切时，求圆的方程。

Answer 1

(1)
x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)
椭圆上点P到椭圆两焦点的距离之和为4
所以2a=4
a=2
离心率为√3/2
那么e=c/a=c/2=√3/2
所以c=√3
所以b²=a²-c²=2²-(√3)²=1
所以椭圆C的方程是x²/4+y²=1
(2)
圆经过点(0,1),(2,0)
设圆心为(x,y)
那么半径是r=√[x²+(y-1)²]=√[(x-2)²+y²]①
因为圆与直线3x+y+4=0相切
所以r=√[x²+(y-1)²]=|3x+y+4|/√(3²+1²)=|3x+y+4|/√10②
联立①②解方程组得x=1/2,y=-1/2或x=9/2,y=15/2
①x=1/2,y=-1/2时
半径是r=√[(1/2)²+(-1/2-1)²]=√10/2
所以圆是(x-1/2)²+(y+1/2)²=10/4
②x=9/2,y=15/2时
半径是r=√[(9/2)²+(15/2-1)²]=5√10/2
所以圆是(x-9/2)²+(y-15/2)²=250/4

Answer 2

椭圆上点P到椭圆两焦点的距离之和为4.
2a=4,a=2
离心率为√3/2
c/a=√3/2
c=√3,b=1
椭 圆 的 方 程 x^2/4+y^2=1
上 顶 点 (0,1),右 顶 点 (2,0)
设圆的方程 (x-a)^2+(y-b)^2=r^2
(2-a)^2+b^2=r^2
a^2+(1-b)^2=r^2
|3a+b+4|/√10=r
a=1/2,b=-1/2,r^2==5/2
圆的方程(x-1/2)^2+(y+1/2)^2=25/4