Question

求下列函数的定义域和值域

1.y=0.4的x-1分之1次方
2.y=3的根号下5x-1次方
3.y=2的x次方+1
要过程，顺便详细解释一下1的做法
谢谢

Answer 1

2

y=3^sqrt(5x-1)，定义域：5x-1≥0，即：x∈[1/5,inf)

令u=sqrt(5x-1)，则原函数是指数函数和幂函数的复合函数，即：y=3^u，u=sqrt(5x-1)

在x≥1/5时，u是增函数，且u≥0，而y=3^u也是增函数，所以值域：y∈[1,inf)

3

y=2^x+1，是指数函数，定义域：x∈R，值域：y∈(1,inf)

1

这题稍微复杂一些，y=(2/5)^(1/(x-1))，令u=1/(x-1)

原函数是指数函数和反比例函数的复合函数

定义域：x≠1，指数函数是减函数，u也是减函数，故原函数是增函数

但函数有一个间断点，但这个间断点比较特殊

x从右面趋于1时，1/(x-1)趋于+inf，(2/5)^u趋于0

x左面趋于1时，1/(x-1)趋于-inf，(2/5)^u趋于+inf

而当x趋于+inf时，1/(x-1)趋于0，(2/5)^u趋于1

当x趋于-inf时，1/(x-1)趋于0，(2/5)^u趋于1

所以函数的值域：y∈(0,1)∪(1,inf)，因为函数比较特殊，把函数图像画出来你看一下：