Question

高中数学导数习题，要详细的解题过程。

已知f(X)=x³+ax²+bx+c在x=-2／3与x=1时都取得极值,（1）求a,b的值。（2）若对x∈[-1,2]都有f（x）＜c² 恒成立 求c的取值范围

Answer 1

f(X)=x³+ax²+bx+c求导得f‘(X)=3x²+2ax+b
在x=-2／3与x=1时都取得极值所以
f‘(-2/3)=0 4/3-4/3a+b=0
f‘(1)=0 3+2a+b=0
解得a=-1/2 b=-2
∴f(X)=x³-1/2x²-2x+c
对x∈[-1,2]都有f（x）＜c² 恒成立
f‘(X)=3x²-x-2=3（x-1/6）²-25/12
在x=-2／3与x=1时都取得极值
所以x∈[-1,-2/3]单调递增x∈[-2/3，1]单调递减x∈[1，2]单调递增求f（-2/3）f（2）得
∴x∈[-1,2]，f（x）max=2+C
x∈[-1,2]都有f（x）＜c² 恒成立
∴2+c＜c²
∴-1＜c＜2

追问

用区间写出来

追答

2+c＜c²
c² -c-2＞0
所以c2
c∈（负无穷，-1）∪（2，正无穷）

Answer 2

我告诉你方法，求a，b直接将x=-2/3，x=1两个值代入f（x）的导数中，导数为0，你应该知道。（2）是求x∈（-1,2）的f（x）的最值，通过看导数左右的正负可知极值是极大还是极小，再代入x=-1，x=2的值进行比较，注意求出的值是c2，c通过分析很容易可得。

Answer 3

(1)f'(x)=3x²+2ax+b ;x1+x2=-2a/3=1/3 ;x1*x2=b/3=-2/3 ;所以a=-1/2;b=-2;
(2)当x=-2/3时，f(x)取得极大值；所以在x在[-1,2]之间f(-2/3)=22/9+c;f(2)=2+c;所以最大值为c+2；
c+2<c²;所以c<-1或c>2;

Answer 4

第一问:对函数求导，导函数是二次函数，令其为零，然后用韦达定理得:-2a/3=(-2/3)+1求出a=-1/2,同理b=-2第二问构造函数g(x)=f(x)-c平方对g(x)求导，判断单调性即可。 这是导数最基本的应用题型，多做一些有难度的，这类题目就没有问题了。以上是思路，忘楼主采纳

Answer 5

对f（x）求导后将x的两个值代入到f'（x）当中，让f'（x）为0，便可求出a,b值……其次把求的a,b值代入f（x）,再代入x=－1和2，使得f（x）成立，便可求得c的取值范围……