Question

若对满足条件x+y+3=xy（x>0，y>0）的任意x，y，

接上（x+y）^2-a*（x+y）+1大于等于0恒成立，则a取值范围？

Answer 1

解由x+y+3=xy≤[（x+y）/2]^2
令t=x+y
则上式变为t+3≤t^2/4
即t^2≥4t+12
即t^2-4t-12≥0
即（t-6）（t+2）≥0
即t≥6或t≤-2（舍去）
即x+y≥6
故x+y的取值[6,正无穷大）
由x+y+3=xy
得xy-3=x+y≥2√xy
即xy-2√xy-3≥0
即（√xy-3）（√xy+1）≥0
即√xy≥3或√xy≤-1（舍去）
由√xy≥3
得xy≥9
故xy的范围是[9,正无穷大）。

Answer 2

记t=x+y,则有t^2>=4xy,即xy<=t^2/4
则条件为t+3=xy<=t^2/4
t^2-4t-12>=0
(t-6)(t+2)>=0
t-6>=0
得：t>=6

（x+y）^2-a*（x+y）+1>=0
t^2-at+1>=0
a<=t+1/t=g(t)
当t>1时，g(t)单调增
故t>=6时，g(t)>=g(6)=6+1/6=37/6
因此有a<=37/6

Answer 3

(x+y)²-a*(x+y)+1=x²+2xy+y²-a(x+y)+1
=x²+2(x+y+3)+y²-a(x+y)+1
=x²+(2-a)x+(2-a)²/4+y²+(2-a)y+(2-a)²/4+7-(2-a)²/2
=(x+(2-a)/2)²+(y+(2-a)/2)²+(14-4+4a-a²)
=(x+(2-a)/2)²+(y+(2-a)/2)²+(10+4a-a²)
要求上式恒>=0，则10+4a-a²>=0
a²-4a-10<=0
2-√14<=a<=2+√14

Answer 4

1、x=(3+y)/(y-1)，y＞1，随便往里面填就是了，比如y=2，x=5.。。。

2、变成(x+y-a/2)^2+1-(a^2)/4≥0，则a^2≤4，因此-2≤a≤2