Question

已知数列｛a小n｝的前n项和为Sn，且an是Sn与2的等差中项，而数列｛bn

已知数列｛a小n｝的前n项和为Sn，且an是Sn与2的等差中项，而数列｛bn｝的首项为1，（b小n+1）-（b小n）-2=0.
（1）求a1和a2的值
（2）求数列｛an｝，｛bn｝的通项an和bn
（3）设Cn=an●bn，求数列｛Cn｝的前n项和Tn

Answer 1

　　解：(1)当n=1时 2a1=s1+2 a1=2
　　 当 n=2时 2a2=s2+2 a2=4
　　（2）因为an是Sn与2的等差中项
所以 2an=Sn+2 ①
2a(n-1)=S(n-1)+2 ②
①-②得
　　 2an-2a(n-1)=Sn-S(n-1)=an
　　 化简得 an=2a(n-1) a1=2
即有{an}是一个等比数列, an=2^n
　　因为b(n+1)-bn-2=0
　　b(n+1)-bn=2 b1=1
即有{bn}是一个等差数列,
bn=2n-1
(3) 设Cn=an×bn=(2n-1)×2^n
Tn=1×2^1+3×2^2+5×2^3+……+(2n-1)×2^n ①
2Tn= 1×2^2+3×2^3+5×2^4……+(2n-1)×2^(n+1) ②
　　①-②得
-Tn=Tn-2Tn=1×2^+2[2^2+2^3+……+2^n]-(2n-1)×2^(n+1)
=2+2×4(2^(n-1)-1)/(2-1)-(2n-1)×2^(n+1)
=2+4×2^n-8-(4n-2)×2^n
=-6-(4n-6)×2^n
故Tn=6+(4n+6)×2^n

Answer 2

:an是Sn与2的等差中项
→2an=Sn+2
2a(n-1)=S(n-1)+2
两式相减
2an-2a(n-1)=Sn-S(n-1)=an
→an=2a(n-1)
→an=2a(n-1)
即有{an}是一个等比数列,2a1=S1+2=a1+2,a1=2,q=2
故有an=a1q^(n-1)=2^n

a1=2,a2=4
(2)
b(n+1)-bn-2=0
→b(n+1)=bn+2
→bn=b(n-1)+2
即有{bn}是一个等差数列,
bn=b1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1

问题3:设Cn=an*bn=(2n-1)*2^n
Tn=1*2^1+3*2^2+5*2^3+……+(2n-1)*2^n
→2Tn= 1*2^2+3*2^3+5*2^4……+(2n-1)*2^(n+1)
两式相减

-Tn=Tn-2Tn=1*2^+2[2^2+2^3+……+2^n]-(2n-1)*2^(n+1)
=2+2*4(2^(n-1)-1)/(2-1)-(2n-1)*2^(n+1)

=2+4*2^n-8-(4n-2)*2^n
=-6-(4n-6)*2^n
故Tn=6+(4n+6)*2^n

Answer 3

2a(n)=S(n)＋2 ---------------------(1)
当n=1时，2a(1)=S(1)＋2=a(1)＋2，得：a1=2
当n≥2时，
2a(n－1)=S(n－1)＋2 -----------(2)
(1)－(2)，得：
2a(n)－2a(n－1)=a(n)
a(n)=2a(n－1)
[a(n)]/[a(n－1)]=2=常数
则数列{a(n)}是以a1=2为首项、以q=2为公比的等比数列，得：
a(n)=2^(n) 【2^(n)：表示2的(n)次方】

b(n＋1)－b(n)=2=常数，则数列{b(n)}是以b(1)=1为首项、以d=2为公差的等差数列，得：
b(n)=2n－1

c(n)=(2n－1)×2^(n)
则：
Tn=1×2＋3×2²＋5×3³＋…＋(2n－1)×2^(n)
2Tn=1×2²＋3×2³＋…＋(2n－1)×2^(n＋1)
两式相减，得：
－Tn=2＋2×[2²＋2³＋…＋2^(n)]－(2n－1)×2^(n＋1)
=2＋2×[2^(n＋1)－4]－(2n－1)×2^(n＋1)
Tn=(2n－3)×2^(n＋1)＋6

Answer 4

(1)
由an是Sn与2的等差中项得2an=Sn +2
n=1时，2a1=S1+2=a1+2 a1=2
n=2时，2a2=S2+2=a1+a2+2 a2=a1+2=2+2=4
(2)
n=1时，a1=2
n≥2时，2an=Sn+2 2a(n-1)=S(n-1)+2
2an-2a(n-1)=Sn+2 -S(n-1)-2=Sn-S(n-1)=an
an=2a(n-1)
an/a(n-1)=2，为定值。
数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，通项公式an=2ⁿ
x=bn y=b(n+1)代入直线方程：b(n+1)=bn +2
b(n+1)-bn=2
又b1=2
数列{bn}是以2为首项，2为公差的等差数列。通项公式bn=2n。
(3)
cn=anbn=2n×2ⁿ
Tn=a1b1+a2b2+...+anbn
=2(1×2+2×2²+3×2³+...+n×2ⁿ)
2Tn=2[1×2²+2×2³+...+(n-1)×2ⁿ+n×2^(n+1)]
Tn-2Tn=-Tn=2[2+2²+...+2ⁿ -n×2^(n+1)]
=2[2×(2ⁿ-1)/(2-1) -n×2^(n+1)]
=2[2^(n+1) -2 -n×2^(n+1)]
=2[(1-n)×2^(n+2) -2]
=(1-n)×2^(n+3) -4
Tn=(n-1)×2^(n+3) +4

Answer 5

(1)2S_n=2+a_n
2(S_n-S_(n-1))=a_n-a_(n-1)
2a_n=a_n-a_(n-1)
a_n=-a_(n-1),n=2,3...
n=1时
2s1=a_1+2
2a1=a1+2
a1=2
所以 a_2=-2
(2) a_n=-a_n_(n-1)=(-1)^(n-1) *2,n=1,2,..
b_(n+1)-b_n=2
b_n=b_1+2(n-1)=2n+1
(3) C_n=(-1)^(n-1)2(2n+1)=(-1)^(n-1)(4n+2)
T_n=4[1-2+3,+....+(-1)^(n-1)n]+2[1-1+1+...+(-1)^(n-1)]
T_2n=-4n
T_(2n+1)=-4n+4 (2n+1)+2=4n+6