Question

2008初中数学联赛（江西赛区）

最后一题答案（答案是不是错了）
题目如下：一次竞赛有120人参加，共有1，2，3，4，5五题，做对第1，2，3，4，5题的分别有96，83，74，66，35人，已知至少做对三题就可获奖，问至少有多少人获奖？

Answer 1

40！

列式为：
96+83+74+66+35=354。。。。。。所有人答对的题数
345-120*2=114。。。。。。获奖的人比没获奖人多答对的题数
114-35*3=9=2+2+2+2+1。。。。。。4个人答对4道，1个人答对3道
35+5=40
解释在下面--

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至少有多少人获奖也就是说最少的获奖人数，要想求得这个结果，应该

假设没获奖的人都答对2道题，因为所有参赛者答对的题数是一定的，为

96+83+74+66+35=354，没获奖的人数答对的题数越多，获奖人答对的总

题数越少，（答对三道就获奖了，所以设所有没获奖的都答对了2道题）

这样也可以说每个人都至少答对了2道题，所以获奖的人比没获奖的人多

答对的题的总数为354-120*2=114。接着，要想让获奖的人数最少，应该

让尽可能多的人答对5道题，但只有35人答对了第五题，最多只有35个人全部答对。也就是那三十五人比没答对的人都多答对3道

所以114-35*3=9=2+2+2+1，也就是说除35人全部答对外，其余有一人答对3道，4人答对4道。所以共有35+4+1=40人

我这里有最通俗的解释，有哪些地方看不懂可以问我，我的答案是绝对正确的！！！

话说feifanchen123 也得到了40人的结果，但是他用的代数，不易理解，希望楼主一定要把我的设为最佳答案啊！！！

Answer 2

至少有多少人获奖也就是说最少的获奖人数，要想求得这个结果，应该

假设没获奖的人都答对2道题，因为所有参赛者答对的题数是一定的，为

96+83+74+66+35=354，没获奖的人数答对的题数越多，获奖人答对的总

题数越少，（答对三道就获奖了，所以设所有没获奖的都答对了2道题）

这样也可以说每个人都至少答对了2道题，所以获奖的人比没获奖的人多

答对的题的总数为354-120*2=114。接着，要想让获奖的人数最少，应该

让每个获奖的人都答对5道题。也就是说每个获奖的人都比没获奖的人多

答对3道，所以114/3=38，也就是说至少/最少有38人获奖（答对5道

题）。

我这里有最通俗的解释，有哪些地方看不懂可以问我，我的答案是绝对正确的！！！

话说star_island也得到了38人的结果，但是他写得很难懂，看也看不明白，希望楼主一定要把握的蛇为最佳答案啊！！

或

5a+4b+3c+2d+e=96+83+74+66+35=354
a+b+c+d+e+f=120
要让a+b+c最小，为了人数少，则希望答对三道及其以上的人都应对5道题目即a比例最高
有4a+3b+2c+d=234
令b，c为0；d尽量大 这样分得的题目多
则令f为o
有方程组5a+2d=354
a+d=120
解得38
具体严格求解得动用系数行列式，等你以后慢慢就接触到了

Answer 3

至少有40人获奖。
设同时做对五道题的有a人，做对四道题的有b人，做对三道题的有c人，做对两道题的有d人，只做对一道题的有e人，一道题也没做对的有f人。
本题是求a+b+c的最小值。
显然有5a+4b+3c+2d+e=96+83+74+66+35=354
a+b+c+d+e+f=120
要让a+b+c最小，显然尽可能让d大，其次尽可能让a大，
但即使d取到120，总做对题数也才为120×2=240，尚差354-240=114道。
再来看a，a最大可取到35，此时d最大为120－35=85,但仍差354-35×5-85×2=9道。
这9道题最好让4人做对四道，1人做对三道，但此时做对两道题的人数要减下来5人,即为80人，【这9道题也可让5人做对四道，1人做对一道，此时做对两道题的人数就要减6，即为79人】
即当取a=35,b=4,c=1,d=80,e=0,f=0
或者取a=35,b=5,c=0,d=79,e=1,f=0时，a+b+c的值为最小。
而这两种情况a+b+c的值均为40
我相信这个做法

Answer 4

----------楼主看这里，这里有最简单且最巧妙的算法哦---------

先算出所有人总答对的题目数：
96+83+74+66+35=354

目的是使获奖的人数尽量的少，由于是3道题答对就可获奖，那么我们就首先让所有人都至少答对两道题（这样会有大量的只答对两道题而没有获奖的人，这样最大限度的浪费掉了总答对的题目数）

一共120人，每人答对2道题的话，一共要答对240题

实际一共答对354，减去240，还剩114道题目，这114道题目还是要分配给这些人，而且只要是被分配了的人一定获奖，没有分配的人一定没获奖

为了使获奖人数最少化，我们尽量将114道题目集中分配给少数人。
因为一个人最多也只能答对5道题目，之前已经每人分配2道了，现在每人最多再分配3道。那就按每人3道题目来分配，这样获奖人数会最少。

这个最少获奖人数=114/3=38

答：获奖人数最少为38.

列总和式子为： （（96+83+74+66+35）-2*120）/ 3 = 38

Answer 5

若先考虑答对五题再考虑仅答对二题的,按题意中,答对五道题最大的可能性为35人,则还剩下的答对题数为96+83+74+66+35-35*5=179道
余下85人中1,2,3,4题中分别答对的人数为:61,48,39,33人,
因179/85=2.....9
则肯定有人不止答对两题,使仅答对两题的人数最小,则9题都是由答对四题的人答对的,则有四人答对四题,一人答对三题,
则此时答对两题的人数最多有85-4-1=80人
最多拿奖的人为40人.

但若先考虑满足仅答对两题的情况,则354-120*2=114题
剩下的部分考虑让一部分尽可能的答对五题,114*(5-2)=38人,但据题意知38人不符合题意,因有一题最多只有35人答对,则114-35*(5-2)=9
即有9题需要有答对4题的人完成,9*(4-2)=4....1即有4人做对四道题,1人做对三道题即能获得奖的人有35+4+1=40人.