Question

若对任意x+y+3=xy（x>0,y>0）的任意x,y （x+y）^2-a（x+y）+1≥0恒成立 求实数a的取值范围 0分若对任意

若对任意x+y+3=xy（x>0,y>0）的任意x,y （x+y）^2-a（x+y）+1≥0恒成立 求实数a的取值范围 0分若对任意

Answer 1

解：
设t=x+y
x,y>0
xy>0
x+y+3>0
x+y>-3
t>-3

t²-at+1≥0 (t>-3)

a²-4≤0
即-2≤a≤2时
t²-at+1恒大于等于0

a²-4>0时，即a<-2或a>2
对称轴a/2≤-3，a≤-6
且t=-3时，t²-at+1≥0
9+3a+1≥0,a≥-3/10
不成立

综上所述，-2≤a≤2

Answer 2

(x+y)²-a*(x+y)+1=x²+2xy+y²-a(x+y)+1
=x²+2(x+y+3)+y²-a(x+y)+1
=x²+(2-a)x+(2-a)²/4+y²+(2-a)y+(2-a)²/4+7-(2-a)²/2
=(x+(2-a)/2)²+(y+(2-a)/2)²+(14-4+4a-a²)
=(x+(2-a)/2)²+(y+(2-a)/2)²+(10+4a-a²)
要求上式恒>=0，则10+4a-a²>=0
a²-4a-10<=0
2-√14<=a<=2+√14

Answer 3

x+y+3=xy≤（x+y）²/4【均值不等式】
于是（x+y）²-4（x+y）-12≥0
得0＜x+y≤6
（x+y）²-a（x+y）+1≥0在x+y∈（0,6]恒成立
a≤（x+y）+1/（x+y）恒成立【分离变量】
（x+y）+1/（x+y）≥2【再次均值】
于是a≤2

Answer 4

由已知(x+y)+3x≤（+y/2)^2,x>0,y>0 有x+y≥6
（x+y)+1/(x+y)≥a x+y=6时（x+y)+1/(x+y)有最小值37/6
a≤37/6