Question

已知:抛物线y=a(x-2)2+b(ab<0)的顶点为A,与x轴的交点为B,C(点B在点C的左侧).

3）若D为抛物线对称轴上一点，则以A，B，C，D为顶点的四边形能否为正方形？若能，请写出a，b满足的关系式；若不能，说明理由．

Answer 1

（2011•江西）已知：抛物线y=a（x-2）2+b（ab＜0）的顶点为A，与x轴的交点为B，C（点B在点C的左侧）．
（1）直接写出抛物线对称轴方程；
（2）若抛物线经过原点，且△ABC为直角三角形，求a，b的值；
（3）若D为抛物线对称轴上一点，则以A，B，C，D为顶点的四边形能否为正方形？若能，请写出a，b满足的关系式；若不能，说明理由．
解：（1）抛物线对称轴方程：x=2．（2分）
（2）设直线x=2与x轴交于点E，则E（2，0）．
∵抛物线经过原点，
∴B（0，0），C（4，0）．（3分）
∵△ABC为直角三角形，根据抛物线的对称性可知AB=AC，
∴AE=BE=EC，
∴A（2，-2）或（2，2）．
当抛物线的顶点为A（2，-2）时，y=a（x-2）2-2，
把（0，0）代入，得：a=
1
2
，
此时，b=-2．（5分）
当抛物线的顶点为A′（2，2）时，y=a（x-2）2+2，
把（0，0）代入，得：a=-
1
2
，此
时，b=2．
∴a=
1
2
，b=-2或a=-
1
2
，b=2．（7分）
（3）依题意，B、C关于点E中心对称，当A，D也关于点E对称，且BE=AE时，四边形ABDC是正方形．
∵A（2，b），
∴AE=|b|，
∴B（2-|b|，0），
把B（2-|b|，0）代入y=a（x-2）2+b，得ab2+b=0，
∵b≠0，
∴ab•b+b=0，
∴ab=-1．（10分）

Answer 2

y=a(x-2)^2+b
1）对称轴方程为 x=2 。
2）顶点为（2，b），
因为抛物线过原点，所以将x=0，y=0代入可得 4a+b=0，即 b=-4a，
所以 y=a(x-2)^2-4a=ax(x-4)，
由此得 B（0，0），C（4，0），
因为ABC为直角三角形，所以 |b|=2，
解得 b=-2，a=1/2 或 b=2，a=-1/2。
3）设存在。因为A（2，b），若B（2-c，0），C（2+c，0）（c>0），
则 ac^2+b=0，
且由AB丄AC得 |b|=c，
代入上式可得 ab+1=0 。（此时D点坐标为（2，-b））

追问

...为啥B（2-c，0），C（2+c，0）（c>0）？

追答

已经设存在正四方形了，那A确定 B C就自然是那样坐标