Question

如图，已知等边△ABC，以边BC为直径的半圆与边AB，AC分别交于点D，点E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．

（1）判断DF与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）过点F作FH⊥BC，垂足为点H．若等边△ABC的边长为4，求FH的长．

Answer 1

（1）DF是⊙O的切线
连接OD
∵ OB=OD, ∠ABC=60°
△OBD是等边三角形
∠BDO=60°
又∵ ∠A=60° ，DF⊥AC
∠ADF=30°
∴ ODF=180°-∠BDO-∠ADF=90°
∴ OD⊥DF，即：DF是⊙O的切线

（2）
△OBD是等边三角形
BD=OB=BC/2=2
AD=AB-BD=4-2=2
AF=AD*sinA=2*cos60°=1
CF=AC-AF=3
FH=CF*sin∠ACB=3*sin60°=3√3 /2

Answer 2

（一）相切
证明：
连结OD、CD
点D在圆周上，则角BDC为直径BC对应的圆周角=90°得角BCD=30°，得角BDO=角A=60°。可得OD\\AC,又DF!AC,故DF!OD即相切。
（二）3*根号3
三角形BOD为等边A，则BD=BO=4，AD=4，AF=2,FC=6,FH=3根号3