Question

求微分方程xy'+y=xe^x满足x=1,y=1的特解

Answer 1

解法一：∵xy'+y=xe^x ==>(xy)'=xe^x
∴原方程的通解是xy=(x-1)e^x+C (C是积分常数)
∵当x=1时，y=1
∴代入通解，得C=1
故所求解是xy=(x-1)e^x+1；
解法二：令x=e^t，则t=lnx，xy'=dy/dt
代入原方程，得dy/dt+y=e^t*e^(e^t)..........(1)
∵方程(1)是一阶线性微分方程
则由公式法求得方程(1)的通解是
y=(1-1/e^t)e^(e^t)+C/e^t (C是积分常数)
==>ye^t=(e^t-1)e^(e^t)+C
∴原方程的通解是xy=(x-1)e^x+C
∵当x=1时，y=1
∴代入原方程的通解，得C=1
故所求解是xy=(x-1)e^x+1；
解法三：∵由xy'+y=0 ==>dy/y=-dx/x
==>ln│y│=-ln│x│+ln│C│ (C是积分常数)
==>y=C/x
∴方程xy'+y=0的通解是y=C/x
于是，根据常数变易法，设原方程的解为y=C(x)/x (C(x)是关于x的函数)
代入原方程，得x(C'(x)/x-C(x)/x²)+C(x)/x=xe^x
==>C'(x)=xe^x
==>C(x)=(x-1)e^x+C (C是积分常数)
则y=C(x)/x=[(x-1)e^x+C]/x
==>xy=(x-1)e^x+C
即原方程的通解是xy=(x-1)e^x+C
∵当x=1时，y=1
∴代入原方程的通解，得C=1
故所求解是xy=(x-1)e^x+1。

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 3

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