Question

已知A,B,C是△ABC三内角,向量m=(-1,根号3),向量n=(cosA,sinA),且向量m·向量n=1

若1+sin2B/cos^2B-sin^2B=-3,求tanC

Answer 1

向量m=(-1,根号3),n=(cosA,sinA),且m*n=1

所以（-cosA+根号3sinA）=0
套用公式化简sin（A-π/6)=0
解得A=π/6

根据(1+sin2B)/(cos^2(B)-sin^2(B))=-3
使用倍角公式化简可得（cosB+sinB）=-3（cosB-sinB）
求得tanB=2

然后tanC=tan（π -（A+B））=-tan（A+B）
很容易知道答案就是tanC=5根号3+8

Answer 2

解：(1) m*n= -cosA+√3sinA=1 --> √3/2 sinA - 1/2cosA=1/2--> sin(A-π/6)=1/2 --> A-π/6=π/6 --> A=π/3(2) (1+2sinBcosB)/((cosB)^2-(BsinB)^2)= -3--> (1/(cosB)^2+2tanB)/(1-(tanB)^2)=-3 1+(tanB)^2=1/(cosB)^2-->(1+(tanB)^2+2tanB)/(1-(tanB)^2)=-3-->(tanB)^2-tanB-2=0-->(tanB-2)(tanB+1)=0-->tanB=2 或者 tanB=-1-->B=arctan2或3π/4因为A、B、C是三角形的内角 故:A+B+C=π然而:当B=3π/4时 A+B=3π/4+π/3 >π 故不正确所以:3π/4舍去则:tanB=2

追问

tanC呢

追答

解：(1) m*n= -cosA+√3sinA=1 --> √3/2 sinA - 1/2cosA=1/2--> sin(A-π/6)=1/2 --> A-π/6=π/6 --> A=π/3(2) (1+2sinBcosB)/((cosB)^2-(BsinB)^2)= -3--> (1/(cosB)^2+2tanB)/(1-(tanB)^2)=-3 1+(tanB)^2=1/(cosB)^2-->(1+(tanB)^2+2tanB)/(1-(tanB)^2)=-3-->(tanB)^2-tanB-2=0-->(tanB-2)(tanB+1)=0-->tanB=2 或者 tanB=-1-->B=arctan2或3π/4因为A、B、C是三角形的内角 故:A+B+C=π然而:当B=3π/4时 A+B=3π/4+π/3 >π 故不正确所以:3π/4舍去则:tanB=2 tanC3