Question

高一数学 求大神！!!!! 会做一小题是一小题啊！！

定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M大于等于0，都有│f（x）│≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的一个上界。
已知函数f（x）=1+a（1/2）的x次方+(1/4)的x次方，
g（x）=log以1/2为底[（1-ax）/(x-1)]
（1）若函数g（x）为奇函数，求实数a的值
（2）在（1）的条件下，求函数g（x）在区间[5/3，3]上所有上界构成的集合
（3）若函数f（x）在[0，+∞)上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围

Answer 1

解：（1）当a=1时，f(x)=1+(
1
2
)x+(

1
4
)x，因为f（x）在（-∞，0）上递减，

所以f（x）＞f（0）=3，即f（x）在（-∞，0）的值域为（3，+∞）…（2分）
故不存在常数M＞0，使|f（x）|≤M成立．
所以函数f（x）在（-∞，0）上不是有界函数． …（4分）
（2）由题意知，|f（x）|≤3在[0，+∞）上恒成立
设t=(
1
2
)x，t∈（0，1]，由-3≤f（x）≤3，得-3≤1+at+t2≤3

∴-(t+
4
t
)≤a≤

2
t
-t在（0，1]上恒成立…（6分）

设h(t)=-t-
4
t
，p(t)=

2
t
-t，h（t）在（0，1]上递增；p（t）在（0，1]上递减，h（t）在（0，1]上的最大值为h（1）=-5；p（t）在（0，1]上的最小值为p（1）=1，…（9分）

所以实数a的取值范围为[-5，1]．…（10分）
（3）g(x)=-1+
2
m•2x+1
，

∵m＞0，x∈[0，1]∴g（x）在[0，1]上递减，
∴g（1）≤g（x）≤g（0）即

1-2m
1+2m
≤g(x)≤

1-m
1+m
…（12分）

当|
1-m
1+m
|≥|

1-2m
1+2m
|，即m∈(0，

2
2
]时，|g(x)|≤|

1-m
1+m
|，

当|
1-m
1+m
|＜|

1-2m
1+2m
|，即m∈[

2
2
，+∞)时，|g(x)|≤|

1-2m
1+2m
|，

综上所述，T(m)=
|
1-m1+m m∈(0
22]|
1-2m1+2m ，m∈[
22，+∞)

． …（16分）

Answer 2

1,g(x)为奇函数，(1+ax)/(-x-1)=(x-1)/(1-ax)
a²x²=x²
a²=1
a=1,-1 a=1时，g(x)不存在，a=-1
2,g(x)=log以1/2为底(x+1)/(x-1),在（5/3,3）递增
g(x)的最大值为-1
解集为（-1，正无穷）
3，f(x)在（0，正无穷）为减函数，x=0时有最大值，1+a+1小于等于3
a小于等于1