Question

线性代数问题 急！！

1.设p1是n*n型方程组Ax=0的一个非零解向量，若存在一组向量p1,p2,……,ps满足Api=pi-1（i-1是下标）（i=2，……，s）,证明向量组p1,p2,……,ps线性无关。
2.设α，β为三元正交单位向量，A=αβT+βαT。（1）α+β，α-β是A的特征向量。（2）det(A)=0
谢谢老师。问题比较着急，再次感谢！！

Answer 1

1. 由 Ap1=0,Api=pi-1 得 A^kpk=0, A^k-1pk=p1 (k=1,2,...,s)
设 k1p1+k2p2+...+ksps=0 (1)
等式两边左乘 A^s-1, 得 ksp1=0
因为 p1≠0, 所以 ks=0
(1)式变为 k1p1+k2p2+...+ks-1ps-1=0 (2)
同理, 等式两边左乘 A^s-2, 得 ks-1=0
依次可得 ks=ks-1=...=k1=0
所以 p1,p2,...,ps线性无关.
2. 因为 α,β是正交的单位向量
所以 A(α+β)=(αβ^T+βα^T)(α+β)=αβ^Tα+βα^Tα+αβ^Tβ+βα^Tβ=0+β+α+0=α+β
所以α+β是A的属于特征值1的特征向量
同理 A(α-β)=(αβ^T+βα^T)(α-β)=αβ^Tα+βα^Tα-αβ^Tβ-βα^Tβ=0+β-α+0=-(α-β)
所以α-β是A的属于特征值-1的特征向量.
又因为 r(A)=r(αβ^T+βα^T)<=r(αβ^T)+r(βα^T)<=r(α)+r(β)=2
所以 |A|=0.
PS. 提问技巧: 分开提问. 放在一起大家就不想答了.

Answer 2

设∑KiPi=0，A^(s-1)[∑KiPi]=KsP1=0，Ks=0
类似地：K1=K2=....=Ks=0
∴向量组p1,p2,……,ps线性无关。
A(α)=αβTα+βαTα=β
A(β)=αβTβ+βαTβ=α
A(α+β)=α+β
A(α-β)=-α+β=-(α-β)
∴α+β，α-β是A的特征向量。
R(αβT)=1;
R(βαT)=1
R(A)≤2＜3
∴det(A)=0

Answer 3

1. c1p1+c2p2+...+csps=0
对上式反复作用A依次证明cs=0, c(s-1)=0, ..., c1=0即可

2. (1) 乘法自己算，只要额外验证α+β不是零向量即可，利用一下α^T(α+β)非零
(2)显然rank(A)<=2