Question

以知函数f(x)=sin(wx+∮)(w>0,0≤∮≤兀)为偶函数

且其图象上相临的一个最高点和最低点之间的距离为{根号下[4+(兀的平方)]}.1)求f(x)的解析式.(2)若tanA+cotA=5,求[根号2乘f(2A-兀/4)-1]/(1-tanA的值)

Answer 1

(1).作直角三角形，边长为2，斜边为{根号下[4+(兀的平方)]}和半周期，得半周期为兀，周期为2兀，所以w=1，又偶函数，所以∮=兀/2
(2).由tanA+cotA=5可得sinAcosA=1/5
将x=2A-兀/4代入f（x）可得f(x)=sin(2A+兀/4),化简得分子部分=（sin2A+cos2A-1）=(2sinAcosA+cosA*cosA-sinA*sinA-cosA*cosA-sinA*sinA)=2sinA(cosA-sinA)
分母部分=（1-sinA/cosA）=(cosA-sinA)/cosA
答案=分子/分母=2sinAcosA=2/5

Answer 2

√(4+π^2)显然是周期的1/2
既1/2T=√(4+π^2)
所以2π/ω=T=2√(4+π^2)
所以ω=π/√(4+π^2)
又f(x)=sin(wx+∮)是偶函数
所以∮=π/2
所以f(x)=sin(πx/√(4+π^2)+π/2)=cos[πx/√(4+π^2)]

Answer 3

1：因为f(x)取值范围为[-1,1],所以此图像上最高点与最低点的y轴坐标差为2，所以相邻的最高点和最低点在x轴上的坐标差为根号(4+π^2-4)=π
因为正弦函数相邻最低点和最高点在x轴坐标差为1/2周期，所以此函数周期为2π，即w=1，又因为f(x)是偶函数，且0≤∮≤π，可得∮=π/2，
即f(x)=sin(x+π/2)

2：{[2^(1/2)]*f(2A-π/4)-1}/(1-tanA)
={[2^(1/2)]*sin(2A-π/4+π/2)-1}/(1-tanA)
={[2^(1/2)]*sin(2A+π/4)-1}/(1-tanA)
={[2^(1/2)]*(sin2A*cosπ/4+cos2A*sinπ/4)-1}/(1-tanA)
=(sin2A+cos2A-1)/(1-tanA)
=[2sinAcosA-2(sinA)^2]/[(cosA-sinA)/cosA]
=2sinAcosA

由tanA+cotA=[(sinA)^2+(cosA)^2]/(sinA*cosA)=1/(sinA*cosA)=5
得sinA*cosA=1/5
所以原式=2/5