Question

必修一数学

已知函数f(x)=ax^2-2x+1(a≥0)
1.试讨论函数f(x)在[0,2]的单调性
2.若a＞1求函数f（x）在[0，2]的最大值和最小值
3若f（x）在（0,2）上只有一个零点，求a的取值范围

Answer 1

1.①a＞0，此时函数f(x)=ax^2-2x+1的对称轴为x=2/2a=1/a，且开口向上
若1/a＞2，即1/a-2=（1-2a）/a＞0，∴（1-2a）·a＞0
解得a∈（-∞，0）∪（1/2，+∞），又a＞0，∴a∈（1/2，+∞）
此时[0,2]在对称轴左侧，函数f（x）在[0,2]上单调递减
若1/a＜0，即a＜0，a∈（-∞，0），又a＞0，∴此情况不成立
若1/a∈[0,2]即a∈（0,1/2]时
函数f（x）在（0,1/a）上单调递减在[1/a,2]上单调递增

②a=0，此时函数f(x)=-2x+1为一次函数，在[0,2]上单调递减
综上所述，a{0}∪（1/2，+∞）时]函数f（x）在[0,2]上单调递减
a∈（0,1/2]时函数f（x）在（0,1/a）上单调递减在[1/a,2]上单调递增
2.a＞1，则函数f(x)=ax^2-2x+1的对称轴为x=1/a∈（0,1/2），且开口向上

则函数f（x）在[0，2]的最大值f（2）=4a-3
最小值f（1/a）=-1/a²+1
3.①a=0，此时函数f(x)=-2x+1为一次函数，
令y=0，得-2x+1=0，解得x=1/2∈（0,2）此情况成立
②a＞0，根据图像分析是三种情况，对称轴在0的左边，2的右边（肯定只有一个零点），在[0,2]之间，只要让f(x)=0在[0,2]上只有一解就可以了

追问

设
a大于等于0则可以看出0<a<1/2..对称轴1/a大于2..所以f（x）在【0,2】单调递减
a≥1/2 则对称轴0<1/a<2 f(x)在（0，1/a）减 在（1/a.2）增 还有个=0
这样写不行么

追答

这样写结果是对的，但是可能会扣掉过程分
因为直接说a的取值是没有相应的依据的
而a的范围是根据对称轴在0的左边，2的右边，在[0,2]之间的不同情况求出来的

Answer 2

懒得算，，给你分析过程好吧
1.要讨论在[0,2]的单调性，，可以看看对称轴为0，为2，在[0,2]之间三中情况。。根据所求得a值。结合图像开口方向就很容易解决了。

2.对称轴
x=-(-2)/2a。。。a>1.。。所以x=1/a...。
由于a>1.所以x应该在(0,1)之间。。函数开口方向向上。
所以最小值应该在x=1/a达到啊。。最大值应该在x=2达到啊。。（还是要想图像）

3.函数在 （0,2）只有一个零点根据图像分析也是三种情况。。。对称轴在0的左边。2的右边（肯定只有一个零点）。还有就是在[0,2]之间的时候。。自己想吧。。

Answer 3

求导应该没学吧。
那就讨论a=0
然后就是对称轴的问题。

Answer 4

懒得算求导应该没学吧。
那就讨论a=0