Question

一道关于二次函数的问题，会的请解答，谢谢。

锐角△ABC中，BC=12,△ABC面积为60，D，E分别是边AB，AC上的两个动点（D,E不与A，B重合），且保持DE∥BC，以DE为边，在点A的异侧作矩形DEFG，且EF=1/2 DE
（1）当DEFG的边GF在BC上是，就矩形DEFG的边DE的长
（2）设DE=x，三角形ABC与矩形DEFG重叠部分的面积为y,试求y关于x的函数关系式
（3）求出三角形ABC与矩形DEFG重叠部分的面积y的最大值

Answer 1

解：做AH⊥BC，交DE于M点，交BC于N点。
（1），由S⊿ABC=1/2 BC AN，得方程：60=1/2 X 12 AN
解方程得：AN=10
∵DE∥BC
∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB（平行线与第三条直线相交，同位角相等。）
∴⊿ADE∽⊿ABC（三角形的两个角分别相等，两三角形相似。）
(AN-MN)/AN=EF/BC（两相似三角形对应边成比例。）
∵MN=1/2EF
∴(AN-1/2EF)/AN=EF/BC
数值代入方程：(10-1/2EF)/10=EF/12
解方程得：EF=7.5

（2）当矩形和三角形有重叠时，0＜x＜12。
当：7.5＜x ＜12，矩形和三角形部分重叠，
由，(AN-MN)/AN=EF/BC……证明见（1）
得：(10-MN) / 10=x / 12
解方程得：MN=10-5/6 x
∴ y=DE MN=x (10-5/6 x)=- 5/6 x² + 10 x
结论：
a， 0＜x ≤ 7.5，矩形全部在三角形内，y=1/2x²
b，7.5 ≤ x ＜12，矩形一部分在三角形内，y= - 5/6 x² + 10 x

（3）
a，矩形一部分在三角形内时：y= - 5/6 x² + 10 x ，(7.5 ≤ x ＜12)
∵a=15/6＜0，∴y有最大值。
对称轴：x=-b/2a=-10/〔2 x (-5/6)〕=6。
y在定义域内，单调递减，
所以，当x=7.5时，
y最大值=- 5/6 x² + 10 x=28.125
b，矩形全部在三角形内，y=1/2x²（0＜x ≤ 7.5）
∵a=1/2＞0，∴y有最小值。
对称轴：x=-b/2a=0
y在定义域内，单调递增，
所以，当x=7.5时，
y最大值=1/2 x²=28.125
结合a,b的分析，结论如下：
当x=7.5时，y有最大值。此时矩形的另一个边和BC重合。

追问

可是我觉得最后一问答案是三十啊。当矩形不完全在三角形内部时，才有最大值，三十比28.125大啊。我看过你这个答案，不知道为什么不是三十= =

追答

三十是怎么算出的呢？
重叠面积最大并不一定是说当矩形不完全在三角形内部时才有最大值，
还是应该分类讨论，应该是用函数的思想去算，分情况讨论，
当矩形在三角形内时，最大面积是多少，
当矩形在三角形外时，最大面积是多少，
再比较这两个最值
实质上还是二次函数的最值问题。
可以把你得到30的过程大致说一下吗？

Answer 2

锐角△ABC中，BC=12,△ABC面积为60，D，E分别是边AB，AC上的两个动点（D,E不与A，B重合），且保持DE∥BC，以DE为边，在点A的异侧作矩形DEFG，且EF=1/2 DE
（1）当DEFG的边GF在BC上是，就矩形DEFG的边DE的长
（2）设DE=x，三角形ABC与矩形DEFG重叠部分的面积为y,试求y关于x的函数关系式
（3）求出三角形ABC与矩形DEFG重叠部分的面积y的最大值

(1)解析：在锐角△ABC中，BC=12，S(△ABC)=60，DE∥BC，以DE为边，在点A的异侧作矩形DEFG，且EF=1/2 DE，GF在BC
过A作AM⊥BC交DE，BC于N，M
∴AM=60/6=10
设DE=x
∴AN/AM=DE/BC=x/12==>AN=5/6x，
当GF在⊿ABC内部时，EF=1/2x<NM=10-5/6x
当GF在BC边上时，EF=1/2x=NM=10-5/6x
当GF在⊿ABC外部时，EF=1/2x>NM=10-5/6x
∴DE=x=7.5

(2)解析：设DE=x
当GF在⊿ABC上时，
∴三角形ABC与矩形DEFG重叠部分的面积y=DE*EF=1/2x^2 x∈(0,7.5]
当GF在⊿ABC外部时，
∴三角形ABC与矩形DEFG重叠部分的面积y=DE*NM=x(10-5/6x ) x∈(7.5,12)

(3)解析：三角形ABC与矩形DEFG重叠部分的面积，当GF在BC边上时，达到最大值为：ymax=1/2*7.5^2=225/8，
当x∈(7.5,12)时，矩形DEFG有一部分移出三角形ABC。
∵设f(x)=-5/6x^2+10x=-5/6(x-6)^2+30
∴当x∈(7.5,12)时，函数f(x)单调减
∴三角形ABC与矩形DEFG重叠部分的面积，当GF在BC边上时，达到最大值