Question

已知函数f（x）=x2+bx+c，且f（x+1）为偶函数 （1）求示数b的值 （2）若函数g（x）=/f（x）/[x

已知函数f（x）=x2+bx+c，且f（x+1）为偶函数
（1）求示数b的值
（2）若函数g（x）=/f（x）/（x∈【-1,2】）最小值为1，求函数g（x）的最大值

Answer 1

1）f（x+1）为偶函数，即x=1为函数的对称轴，因此有x=-b/2=1,得：b=-2
2) g(x)=|f(x)|=|x^2-2x+c|=(x-1)^2+c-1|
因为在[-1,2]的最小值为1，所以f(x)=0在此区间无零点,，
由x^2-2x+c=0得：c=2x-x^2=1-(x-1)^2, 在[-1,2]区间，2x-x^2的值域为[-3,1]
故c不能在区间[-3,1]中取值。
g(x)最值只能在区间端点或f(x)极值点x=1取得。
由g(0)=g(2)=|c|
g(-1)=|3+c|
因c不能在[-3,1], 为使最小值为1,只可能：
c=-4, g(-1)=1, 则最大值为g(0)=g(2)=4

Answer 2

(1)
∵f（x+1）为偶函数，图像关于y轴对称
f(x)向左平移1个单位得到f(x+1)图像
∴f(x)图像关于x=1对称
那么b=-2
(2)
f(x)=x²-2x+c
g(x)=|x²-2x+c|=|(x-1)²+c-1|
∵x∈[-1,2]
g(x)的最小值为1，∴(x-1)²+c-1恒为正值
∴(x-1)²+c-1最小值为1，那么c-1=1,c=2
∴g(x)=(x-1)²+1
当x=-1时，g(x)取得最大值5

Answer 3

1、f(x)=x²+bx+c
g(x)=f(x+1)=(x+1)²+b(x+1)+c 是偶函数
g(-x)=f(-x+1)=(-x+1)²+b(-x+1)+c=g(x)=(x+1)²+b(x+1)+c
x²-2x+1-(x²+2x+1)=b(x+1-(1-x))
2bx=-4x
b=-2
2、g(x)=|f(x)|=|x²-2x+c|=|(x-1)²+c-1|
当 x=1 时，g(x) 最小 |c-1|=1，c=0 或 c=2
由二次函数图像得知，当 x=-1时，g(x)最大
当 c=0 时，g(x) 最大=|(-1-1)²+0-1|=3
当 c=2 时，g(x) 最大=|(-1-1)²+2-1|=5