Question

线性代数特征值问题

λ 是方阵A 的特征值，则下列说法错误的是
A λ 平方是A平方的特征值
B kλ 是kA的特征值（K为常数）
Cλ /1是A逆的特征值
Dλ 是A转置的特征值·

给下理由，多谢！
C打错了…… 就是 1/λ
那你们说那个B ， 当K =0时成立吗？

Answer 1

对于特征值λ，就有：
存在非零X使得，AX=λX
A.
AX=λX
A^2X=AλX=λ(AX)=λ^2X，故A对
B.
kAX=(kA)X=(kλ)X，故B对
C.
AX=λX
A^(-1)AX=A^(-1)λX
X=λA^(-1)X
A^(-1)X=X/λ=(1/λ)X
故C对
D.
二者特征多项式相同，自然特征值，故D对

无法排除，题目出错？？？

有不懂欢迎追问

当k=0时，对于任意X，
kAX=(kA)X=0X=0=0X=(kλ)X
在特征值的定义中，并没有说n阶方阵是非0方阵
因此，就算k=0，也只会得出零矩阵的特征值为零这个结论而已，我觉得应该是没有问题的

不过在我查过的所有书上都有注明k不等于零，才有B的等式成立，难道我上面说的是错的？

Answer 2

C 错误
应该是: 1/λ 是 A^-1 的特征值

A与A的转置的特征多项式相同. 故特征值相同, 所以 D 正确.
(A),(B) 都是定理结论

追问

题目打错了，就是1/λ ·
那您说那个B ， 当K =0时成立吗？

Answer 3

严格来说,C, D都是错误的,考虑到讨论环境, D应该是错误的. 如果A是对称矩阵, D当然是正确的, 但题目中并没有说A对称. 当λ不为零时, λ^{-1}确实是A的逆的特征值(如果|A|不为零的话).