Question

一道高中数学题，求各位解解

设二次函数f（x）=ax2+bx+c在区间[-2，2]上的最大值、最小值分别为M、m，集合A={x|f（x）=x，x∈R}
（1）若A={1，2}，f（0）=2，求M和m的值
（2）若A={0}，a≥1，记g（a）=M+m，若 g(a)的最小值
谢谢啊

Answer 1

（1）由A=[1，2]，得到不等式f（x）≤x的解集为[1，2]，把f（x）的解析式代入不等式化简后，得到一个关于x的不等式小于等于0，则不等式左边等于0时，方程的两个根为1和2，根据韦达定理即可求出a与b的值，又因为f（0）=2，代入即可求出c的值，即可确定出f（x）的解析式，根据二次函数的对称轴与区间的关系，由二次函数的图象与性质得到最大值为f（-2），最小值为f（1），即可求出M与m的值；

解：（1）∵A=[1，2]，
∴ax2+（b-1）x+2≤0的解集为[1，2]，
∴方程ax2+（b-1）x+2=0的两个根x1=1，x2=2，
由韦达定理得到：a=1，b=-2，
又f（0）=2，所以c=2，
则f（x）=x2-2x+2=（x-1）2+1，
∴M=f（-2）=10，m=f（1）=1；

f(x)=x,即ax^2+(b-1)x+c=0
A={1}，说明a+b-1+c=0
又∵ Δ=（b-1）^2-4ac=0
∴a=c,b=1-2a
f(x)=ax^2+(1-2a)x+a
对称轴为x=1-1/(2a)，且 a>1
∴对称轴的取值范围是[1/2,1)
∴x=(2a-1)/2a时有最小值m，且为（4a-1）/4a
当x=-2时有最大值M，且为4a-2+4a+a=9a-2
g(a)=(4a-1)/4a+9a-2=9a - 1/(4a) - 1
g(a)在（0，+∞）上单调递增，所以a=1时有最小值
g(1)=8-1/4=31/4