Question

已知双曲线c的渐进线方程为y=正负√3x, 右焦点F(c,0）到渐进线的距离为√3.

已知双曲线c的渐进线方程为y=正负√3x, 右焦点F(c,0）到渐进线的距离为√3.
(1)求双曲线C的方程；
(2)过F作斜率为K的直线L交双曲线于A,B两点，线段AB的中垂线交x轴于D,求证:|AB|/|FD|为定值。

Answer 1

（1）设双曲线方程为3x²-y²=λ（λ＞0）
由题知c=2,λ/3+λ=4，λ=3
双曲线方程为:x²-y²/3=1
（2）设直线l的方程为y=k（x-2）代入x²-y²/3=1
得（3-k²)x²+4k²x-4k²-3=0
设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点P（x0，y0）
x0= -2k²/(3-k²),得：y0= -6k/(3-k²),
|AB|=√(1+k²)|x1-x2|=6(1+k²)/I3-k²I
AB的垂直平分线方程为y= -1/k[x+2k²/(3-k²)]-6k/(3-k²)
令y=0得xD= -8k²/(3-k²)
|FD|=|-8k²/(3-k²)I-2=I-6(1+k²)/(3-k²)I=6(1+k²)/(3-k²)
所以:|AB|/|FD|=1 (为定值)

Answer 2

第一问，x²-y²/3=1