Question

、设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R． (1)求f(x)的单调区间与极值；

解：知f′(x)＝ex－2，x∈R．
　　令f′(x)＝0，得x＝ln2，我不会算ex的值。想问是怎么算出的x=In2的？

Answer 1

(1)函数f(x)的单调递减区间为(-∞,ln
2),
单调递增区间为(ln
2,+∞).
当x=ln
2时,有极小值f(ln
2)=2(1-ln
2+a).
(2)证明:设g(x)=ex-x2+2ax-1,x∈R,
于是g'(x)=ex-2x+2a,x∈R.
由(1)知当a>ln
2-1时,
g'(x)的最小值为g'(ln
2)=2(1-ln
2+a)>0.
于是对任意x∈R,都有g'(x)>0,
所以g(x)在R内单调递增.
于是当a>ln
2-1时,对任意x∈(0,+∞),
都有g(x)>g(0).
而g(0)
=0,
从而对任意x∈(0,+∞),g(x)>0,
即ex-x2+2ax-1>0,
故ex>x2-2ax+1.
(1)解:∵f'(x)=ex-2,
由f'(x)<0可得,x<ln
2;
由f'(x)>0可得x>ln
2,
所以函数f(x)的单调递减区间为(-∞,ln
2),
单调递增区间为(ln
2,+∞).
当x=ln
2时,有极小值f(ln
2)=2(1-ln
2+a).
(2)证明:设g(x)=ex-x2+2ax-1,x∈R,
于是g'(x)=ex-2x+2a,x∈R.
由(1)知当a>ln
2-1时,
g'(x)的最小值为g'(ln
2)=2(1-ln
2+a)>0.
于是对任意x∈R,都有g'(x)>0,
所以g(x)在R内单调递增.
于是当a>ln
2-1时,对任意x∈(0,+∞),
都有g(x)>g(0).
而g(0)
=0,
从而对任意x∈(0,+∞),g(x)>0,
即ex-x2+2ax-1>0,
故ex>x2-2ax+1.

Answer 2

f'(x)=e^x-2
令f'(x)=0得e^x-2=0
即e^x=2
两边取对数得x=ln2

追问

取对数是怎么取的？In和ex之间有什么变换公式吗？

追答

lnx的底就是e
所以lne^x=ln2
lne^x=x
x=ln2

Answer 3

通常这可用到泰勒展开式：
ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-....
所以ln2=1-1/2+1/3-1/4....

Answer 4

e^x－2=0

e^x=2

两边取对数
x=ln2

追问

请问一下，怎么取对数吗？我对数不是特别好

追答

左边=lne^x=xlne=x ln是以常数e为底的对数log,即log(e) e=1

右边=ln2

追问

我还是不明白，不会变对数

追答

对数性质
log(a)X^n=n*log(a)X
log(a)a=1
此题中底数a变为e