Question

如图，点D在圆O的直径AB的延长线上，点C在圆O上，且AC=CD，角ACD=120，

（1）CD是圆O的切线
（2）若圆O的半径为2，求图中阴影部分的面积

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Answer 1

1）.求证CD是○O的切线
（2）.若圆O的半径为2，求图中阴影部分的面积
1、连接BC
∵AB是直径
∴∠ACB=90°
∴∠BCD=∠ACD-∠ACB=120°-90°=30°
∵AC=CD
∴∠A=∠D=(180°-∠ACD)/2=(180°-120°)/2=30°
∴∠ABC=60°
连接OC=OB
∴△BOC是等边三角形
∴OC=OB=BC
∴∠OCD=∠OCB+∠BCD=60°+30°=90°
∴CD是圆的切线
2、∵∠BCD=∠D=30°
∴BC=BD=OB=2
即OD=4
∴CD²=OD²-OC²=4²-2²=12
CD=2√3
∴S△COD=1/2OC×CD=1/2×2×2√3=2√3≈3.464
S扇形COB=2²×3.14×60/360=4×3.14×1/6≈2.093
∴S阴影=S△COD-S扇形COB=3.464-2.093=1.371

Answer 2

（1）连接CB、CO
∵CA=CD
∴∠CAO=∠CDB
∵∠ACD=120°
∴∠CAO=∠CDB=30°
∴∠COB=2∠CAO=60°
则∠DCO=90°
∴CD是⊙O的切线
（2）∵⊙O半径为2，∠COB=60°
∴扇形OCB面积=2²〒／6（找不到3.1415626535.。。。。。。的那个pai，用〒代替）
=2／3〒
作线段OE⊥AC于点E，则∠AEO=∠CEO=90°，AE=CE
又 ∵AO=CO，∠CAO=30°
∴EO=½AO=1
∴CD=AC=2AE=2根号内（符号你懂的）2²－1²=2根号3
∴S△CDO=CO×CD×½=2×2根号3×½=2根号3
∴阴影部分面积=S△COD－扇形OCB面积
=2根号3－2／3〒