Question

高等数学之微积分问题

设f（x），g（x）在R上有定义，f（x）在R上连续，g（x）有间断点，则下列函数中必然有间断点的是（ ）
A.f(g(x)) B.g(f(x)) C.f(x)*g(x) D.g(x)/f(x)

请对每个选项做出解释，为什么它有间断点，为什么它没间断点。

Answer 1

本题选D。

先说明选项A不正确。令f(x)=|x|, 则f(x)是一个连续函数。
分段函数g(x)＝{ x+1, x>=0；x-1, x<0. （两段用分号分开的）
g(x)在0点处有左右极限都存在但不相等，于是在0点处不连续，但
f(g(x))={|x+1|, x>=0；|x-1|, x<0 却是一个连续函数.没有间断点.

再说明B也是不正确的.
令f(x)=1+x^2 , 则f(x)是一个连续函数。
令分段函数g(x)={2, x>=0；-2, x<0.
则g(f(x))=2,是一个连续函数，没有间断点.

选项C也是不对的.
f(x)=x^2是一个连续函数，令
令分段函数g(x)={2, x>=0；-2, x<0.
则f(x)g(x)是一个连续函数，没有间断点.

最后证明D是正确的.
设x0是g(x)的一个间断点，分两种情况进行讨论：
若f(x0)=0,则函数g(x)/f(x)在x0点没有定义，自然是间断点.
若f(x0)不等于零，不妨大于0，则存在x0的某一个邻域，使得函数f(x)在该邻域内都大于0.
以下仅在该邻域内进行讨论.
若x0是g(x)的可去间断点，则g(x)在x0点无定义，则g(x)/f(x)在x0点没有定义，自然是间断点.
若x0是g(x)的跳跃间断点，则g(x)在x0点的左右极限都存在但不相等，所以x0也是g(x)/f(x)的跳跃间断点。
若x0是g(x)的第二类间断点，则g(x)在x0点的左右极限至少有一个不存在，于是
g(x)/f(x)在x0点的左右极限也至少有一个不存在，于是x0是g(x)/f(x)的第二类间断点.