Question

高等数学之微积分问题

求极限lim（x→0）[（a/x）-(（1/x^2）-a^2)*ln(1+ax)] （a≠0）

我先算a/x后面的极限，然后与a/x部分的极限合并，算出来结果是a^3*x，可答案是a^2/2

求详解，难道我那种做法不对吗？为什么？

Answer 1

你好，
当极限中含加减法时，可以将其分开算的条件是几个部分都存在极限
但是a/x在x→0的时候不存在极限，因此不能分开算
可以直接将其合并以后用洛必达法则来计算
如果你想用等价无穷小量替换的话，其依据是泰勒公式的一阶展开式
但是此时分母上存在二阶量，所以不妨用二阶展开式替换，即ln(1+ax)≈ax-a²x²/2
将其代入以后可以很简单得到极限为a²/2，但是此方法使用时需要叙述清楚，即代入的时候
应该代入ln(1+ax)=ax-a²x²/2+o(x³)，o(x³)为x的三阶无穷小

Answer 2

应该不能像你那样算，应该当成一个整体来算。我觉得应该把ln(1+ax)用它的等价无穷小量来替换，然后再进行洛必达法则，好像就没问题了。

追问

可是把ln(1+ax)用它的等价无穷小量来替换的话就必须分开算，因为合起来的话是加减法，不能替换。你能帮我算一下吗？谢谢

追答

我的微积分也是很普通的啦！一般都是看书上的例子。----书上有很多例子可以看的。