Question

高等数学之微积分问题

设f(0)=0,则f（x）在点x=0可导的充要条件是（ ）
A.lim(h→0) f(1-cosh)/h^2
B.lim(h→0) f(1-e^h)/h
C.lim(h→0) f(h-sinh)/h^2
D.lim(h→0) [f(2h)-f(h)]/h

请对每个选项做出详解，万分感谢！！！

Answer 1

原题还得加条件，就是得保证四个选项中的每一个极限都是存在的.
正确的选项是B

选项A中的1-cosh>0与(h^2)/2等价，lim(h→0) f(1-cosh)/h^2存在只能保证函数在0点处的右导数是存在，左导数存在不存在就不知道，即使存在，和右导数也未必相等，故不能选A.
反例如下：
f(x)=|x|, 则lim(h→0) f(1-cosh)/h^2=1/2,显然函数f(x)在0点不可导.

选项C中的h-sinh与h^2不同阶，不能用来判断导数是否存在的依据。举例如下：
f(x)=|x|, 则lim(h→0) f(h-sinh)/h^2=0，显然函数f(x)在0点不可导.

选项D中的极限存在不能说明任何问题，例如
令f(x)是一个分段函数，当x不为0时，f(x)=1, 当x=0时，f(0)=0,
则极限lim(h→0) [f(2h)-f(h)]/h存在且等于0,显然函数在0点是不可导的.函数在0点的连续性都不能保证.

看来只有选项B是正确的.
设lim(h→0) f(1-e^h)/h=a, 则其左右极限都存在且相等.
令1-e^h=t,则
a=lim(h→0) f(1-e^h)/h =lim(t→0) f(t)/ln(1-t) = -lim(t→0) f(t)/t （ln(1-t)是与t等价的无穷小）
= -lim(t→0) [f(t)-f(0)] / t = -f'(0) （最后一步用了导数的定义)
于是 f'(0)= -a。

Answer 2

你的选项应该是各个极限后有“存在”二字吧。
选项D是正确的。
A：1-cosh=2[sin(h/2)]^2～(h^2)/2，所以，lim(h→0) f(1-cosh)/h^2=f'(0)/2；
B：1-e^h～-h，所以，lim(h→0) f(1-e^h)/h=-f'(0)；
C：h-sinh～(h^3)/6，所以，lim(h→0) f(h-sinh)/h^2=0。
D：[f(2h)-f(h)]/h={[f(2h)-f(0)]-[f(h)-f(0)]}/h=2[f(2h)-f(0)]/2h-[f(h)-f(0)]/h→2f'(0)-f'(0)=f'(0)。

Answer 3

选择D。。。。。。