Question

设函数f x是定义域为R+,并且对定义域内的任意X,Y都满足f(xy)=f(x)+f(y),且当x>1f(x)<0,f(1/3)=1

.(1)求f(1)的值,并判断y=(x)的单调性.
(2)如果f(x)+f(1-x)≤2,求x的取值范围

Answer 1

(1)
令x=y=1 f(1)=2f(1)
则 f(1)=0
对于任意的x1>0、x2>0，不妨设x1>x2
则x1/x2>1，则f(x1/x2)<0
f(x1)=f(x2*x1/x2)=f(x2)+f(x1/x2)<f(x2)
则f(x)单调递减

(2)
令x=y=1/3 f(1/9)=2f(1/3)=2
f(x)+f(2-x)=f(x*(2-x))<2=f(1/9)

f(x)递减，则x(2-x)>1/9
x²-2x+1/9>0
x>1+2√2/3或x<1-2√2/3
考虑定义域x>0 2-x>0
0<x<2
则x的取值范围是(0,1-2√2/3)∪(1+2√2/3,2)