Question

已知幂函数f（x）=Xm2-2m-3（m属于z）的图像关于y轴对称，且f（2012）＞f（2015）

（1）若满足（a+1）m/3＜（3-2a）m/3，求a的取值范围。

（2）求满足（a+1）^(m/3)<(3-2a)^(m/3)的取值范围。

Answer 1

(1)
幂函数f（x）=X^(m²-2m-3)（m属于z）的图像关于y轴对称，
那么m²-2m-3是偶数
∵f（2012）＞f（2015）
∴f(x)在(0,+∞)上是减函数
∴m²-2m-3<0
解得-1<m<3
∵m∈Z ∴m=0,1,2
m=0时，m²-2m-3=-3是奇数舍去
m=1时，m²-2m-3=-4符合题意
m=2时，m²-2m-3=-3是奇数舍去
∴m=1, f(x)=x^(-4)

（a+1)^(m/3)＜（3-2a)^(m/3)
即(a+1)^(1/3)<(3-2a)^1/3)
幂函数y=x^(1/3)是R上的增函数
∴原不等式可化为
a+1<3-2a
解得a<2/3

(2)
（a+1）^(m/3)<(3-2a)^(m/3)

追问

第二小题打错了啊啊；；；

（2）若g（x）=loga（1/根号下f（x）-ax-a）在【2，正无穷）上为增函数，求a的取值范围。

追答

g（x）=loga（1/根号下f（x）-ax-a）
=loga[1/x^(-2)-ax-a]
=loga(x²-ax-a)
在[2，正无穷）上为增函数
t= x²-ax-a开口朝上，在在【2，正无穷）必须是增函数
那么对称轴a/2≤2,a≤4

还需y=logat是增函数，则a>1

另外 当x≥2时，需t=x²-ax-a总为正值
只需x=2时 t= x²-ax-a的值为正值即可
∴4-2a-a>0， a<4/3
综上，1<a<4/3

Answer 2

f(2012)>f(2015)
则：m²-2m-3<0
得：-1<m<3
m=0,1,2
关于y轴对称，则：m²-2m-3为偶数
m=1时，满足题意
所以，m=1

（1）不等式为：(a+1)/3<(3-2a)/3
a+1<3-2a
得：a<2/3
（2）不等式为：(a+1)^(1/3)<(3-2a)^(1/3)
a+1<3-2a
得：a<2/3

祝你开心！希望能帮到你，如果不懂，请追问，祝学习进步！O(∩_∩)O

追问

第二小题打错了啊。。

（2）若g（x）=loga（1/根号下f（x）-ax-a）在【2，正无穷）上为增函数，求a的取值范围。

追答

由（1）知：f(x)=1/x^4
则：1/根号下f（x）=x²
所以，g(x)=loga(x²-ax-a)
要在【2，正无穷递增）
显然二次函数y=x²-ax-a在【2，正无穷）是递增的
则：a/2≦2，得：a≦4
x=2时，真数=4-3a>0，得：a1
综上，a的取值范围是：1<a<4/3