一道高中数学题 关于函数和分类讨论的

已知函数f(x)=ax+lnx(a∈R).设g(x)=x^2-2x+2,若对任意x1∈(0,+∞),均存在x2∈[0,1],使得f(x1)<g(x2),求a的取值范围。... 已知函数f(x)=ax+lnx (a∈R).设g(x)=x^2-2x+2,若对任意x1∈(0,+∞),均存在x2∈[0,1],使得f(x1)<g(x2),求a的取值范围。 展开
anranlethe
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对任意x1∈(0,+∞),均存在x2∈[0,1],使得f(x1)<g(x2)
这句话的意思是:g(x)在[0,1]上的最大值要大于f(x)在(0,+∞)上的最大值。
g(x)是确定的,易得g(x)在[0,1]上的最大值为g(0)=2;
所以,f(x)在(0,+∞)上的最大值要小于2,
即f(x)<2对x>0恒成立
ax+lnx<2
ax<2-lnx
a<(2-lnx)/x
令h(x)=(2-lnx)/x
则a<h(x)min
h'(x)=(-1-2+lnx)/x²=(lnx-3)/x²
当0<x<e³时,h'(x)<0,当x>e³时,h'(x)>0
则h(x)在(0,e³)上递减,在(e³,+∞)上递增;
所以,h(x)的最小值为h(e³)=(2-lne³)/e³=-1/e³
所以,a的取值范围是:a<-1/e³

祝你开心!希望能帮到你,如果不懂,请追问,祝学习进步!O(∩_∩)O
追问
g(x)在[0,1]上的最大值要大于f(x)在(0,+∞)上的最大值
请详细解释一下,谢谢
追答
对任意x1∈(0,+∞),均存在x2∈[0,1],使得f(x1)<g(x2),
x1是任意的,所以,f(x1)可以取到f(x)的最大值
然后只要存在x2∈[0,1],使得f(x1)<g(x2),
那么只要g(x)的最大值大于f(x1)(也就是f(x)的最大值即可)
如果g(x)的最大值小于f(x)的最大值
当f(x1)=f(x)max时,就找不到x2∈[0,1],使得f(x1)<g(x2)了
m280849016
2013-01-18 · TA获得超过1.9万个赞
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答案示例:

 

 

 

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hg11116
2013-01-18
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由题意可知,[f(x1)]max<[g(x2)]max,可以求得[g(x)max]=2,故对任意x>0,都有f(x)<2;进而可得a<(2-lnx)/(x);利用求导的方法,求出(2-lnx)/(x)的最小值是-e^(-3),所以a<-e^(-3)
来自:求助得到的回答
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lukafer116
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