初中数学几何题，求高手。 5
证：取度为角的单位
∵AB=AC
∴∠ACB=∠ABC=45
∴∠BAC=180-∠ACB-∠ABC=180-45-45=90
即△ABC是等腰直角三角形
又∵∠BCD=30
∴∠DCA=∠ACB-∠BCD=45-30=15
∴∠ABD=2∠ACD=2×15=30
∴∠CBD=∠ABC-∠ABD=45-30=15
∴∠BDC=180-∠CBD-∠BCD=180-15-30=135
不妨令AB=AC=1，由勾股定理BC=√2，于是
在△BCD中运用正弦定理得
BD/sin∠BCD=BC/sin∠BDC
BD/sin30=√2 / sin135
∴BD=1
∴BD=AB
∴∠BAD=∠ADB
其中
∠BAD=∠BAC-∠DAC=90-∠DAC
∠ADB=∠DCA+∠DAC+∠BCD+∠CBD=15+∠DAC+30+15=∠DAC+60
∴90-∠DAC=∠DAC+60
∴ ∠DAC=15
∴∠DCA+∠DAC=15+15=30（°）
图片传上来了啊，那上面只是解决了第二问，第三问待续吧，我11点有个会要开，麻烦你等等哦，呵呵。
下面继续，今晚状态不错，一会就搞定了，呵呵。
令∠DAC=α，∠ACD=β，则
∠ABD=2α
∠ABC=∠ACB=30+α
∠DBC=∠ABC-∠ABD=30+α-2α=30-α
∠ADB=∠DCA+∠DAC+∠BCD+∠CBD=α+β+30+30-α=60+β
不妨令AB=AC=1，分别在△ABD、△ACD中使用正弦定理得
AD/sin2α=1/sin（60+α）
∴AD/（2sinαcosα）=1/sin（60+β）
∴AD/sinα=2cosα/sin（60+β）
AD/sinα=1/sin（180-α-β）=1/sin（α+β）
∴2cosα/sin（60+β）=1/sin（α+β）
∴2cosαsin（α+β）=sin（60+β）
∴2cosα（sinαcosβ+cosαsinβ）=sin（60+β）
∴2cosαsinαcosβ+2(cosα)^2·sinβ=sin（60+β）
∴sin2αcosβ+(1+cos2α)sinβ=sin（60+β）
∴sin2αcosβ+cos2αsinβ=sin（60+β）-sinβ
∴sin（2α+β）=2cos（30+β）sin30=cos（30+β）=sin（60-β）
∴sin（2α+β）-sin（60-β）=2cos（α+30）sin（α+β-30）=0
于是cos（α+30）=0或sin（α+β-30）=0
∴α=60或α+β=30
由∠ACB=30+α＜90
∴α＜60
故舍去α=60
（也可由∠ACB＞∠ABD得
30+α＞2α
∴α＜30
故舍去α=60）
于是α+β=30
后记：此题中用到了一些高中才学的三角函数公式，当然感兴趣的话初中也可以找来看看，呵呵，有度娘，有线索，有心，则什么都不难。
等腰三角形底角为45度，所以为等腰直角三角形，即<BAC=90度
于是得Rt三角ACE，只要证出AD是斜边EC的中线，即D是CE的中点，ED=CD即可。
角度易求，在三角形BDE中，<BED=105度
<EBD=2<ACD=2(<ACB-<BCD)=2(45-30)=2*15=30度
由正弦定理得，ED/sin<EBD=BD/sin<BED
ED/sin30=BD/sin105
sin105=sin(180-75)=sin75
所以ED=(sin30/sin75)BD (1)
在三角形CDB中，<DCB=30度
<DBC=<ABC-<ABD=45-30=15度
由正弦定理得，CD/sin<DBC=BD/sin<DCB
CD/sin15=BD/sin30
所以CD=(sin15/sin30)BD (2)
已知sin15=(√6-√2)/4
sin30=1/2
sin75=(√6+√2)/4
数据代入（1）（2）得，
对于（1）,ED=(1/2)*(4/(√6+√2))BD
=((√6-√2)/2)BD
对于（2）,CD=((√6-√2)/4)*2BD
=((√6-√2)/2)BD
所以ED=CD
所以在Rt三角ACE中，AD=(1/2)BE=ED=CD
<DCA=<DAC=15度
所以<DCA+<DAC=30度。
完毕，作为辅助方法参考吧！请批评指正。
（暂丢失）
如上图示，作出辅助线，因为三十度所对角是斜边一半，而图中NM=1/2NA.所以结论成立。不能懂加Q：277093401,随时为你解疑答惑。
