Question

高中数学，急！！

设a为实数,函数f(x)=√(1-x2)/(1+x2)+a√(1+x2)/(1-x2), *注明一下，两个根号下是(1-x2)/(1+x2)和(1+x2)/(1-x2)

(1)当a=1时，判断f(x)的单调性
(2)求实数a的范围，使得对于区间[-2√5/5,2√5/5]上的任意三个实数r，s，t，都存在以 f（r），f（s), f（t）为边长的三角形。

求高人指点！！

Answer 1

a=1时，f(x)＝

1−x2
1+x2

+

1+x2
1−x2

＝
2

1−x4

∴x∈[0，1）时，f（x）递增；x∈（-1，0]时，f（x）递减； …（6分）
由于f（x）为偶函数，
∴只对x∈[0，1）时，说明f（x）递增．
设0≤x1＜x2＜1，
∴
1−
x
4
1

＞
1−
x
4
2

＞0，得
1

1−
x
4
1

＜
1

1−
x
4
2

f(x1)−f(x2)＝
1

1−
x
4
1

−
1

1−
x
4
2

＜0
∴x∈[0，1）时，f（x）递增； …（10分）
（3）设t＝

1−x2
1+x2

，则
∵x∈[−
2
5

5
，
2
5

5
]，
∴t∈[
1
3
，1]，∴y＝t+
a
t
(
1
3
≤t≤1)
从而原问题等价于求实数a的范围，使得在区间[
1
3
，1]上，恒有2ymin＞ymax．…（11分）
①当0＜a≤
1
9
时，y＝t+
a
t
在[
1
3
，1]上单调递增，∴ymin＝3a+
1
3
，ymax＝a+1，由2ymin＞ymax得a＞
1
15
，
从而
1
15
＜a≤
1
9
； …（12分）
②当
1
9
＜a≤
1
3
时，y＝t+
a
t
在[
1
3
，
a
]上单调递减，在[
a
，1]上单调递增，∴ymin＝2
a
，ymax＝max{3a+
1
3
，a+1}＝a+1，
由2ymin＞ymax得7−4
3
＜a＜7+4
3
，从而
1
9
＜a≤
1
3
；…（13分）
③当
1
3
＜a＜1时，y＝t+
a
t
在[
1
3
，
a
]上单调递减，在[
a
，1]上单调递增，∴ymin＝2
a
，ymax＝max{3a+
1
3
，a+1}＝3a+
1
3
，
由2ymin＞ymax得
7−4
3

9
＜a＜
7+4
3

9
，从而
1
3
＜a＜1； …（14分）
④当a≥1时，y＝t+
a
t
在[
1
3
，1]上单调递减，∴ymin＝a+1，ymax＝3a+
1
3
，
由2ymin＞ymax得a＜
5
3
，从而1≤a＜
5
3
；…（15分）
综上，
1
15
＜a＜
5
3
．…（16分）

Answer 2

（一）(¿代替根号）若a=1.对化简得F(x)＝¿(1-x2)/¿(1 x2) ¿(1 x2)/¿(1-x2).观察此式可用基本不等式来解，当且仅当¿(1-x2)/¿(1 x2)＝¿(1 x2)/¿(1-x2)时取到最小值2，此时x=0.函数定义域为-1<x<1.因此此时F(x)在-1<x<0上单调递减，在0<x<1上单调递增，应该么问题，希望对你有所帮助，也希望能够采纳…呵呵

Answer 3

（1）定义域x∈[-1,1]。对f(x)求导数。导数大于0则增，反之则减。
（2）先不管a，求出f(x)在区间[-2√5/5,2√5/5]上的最大值fmax与最小值fmin.当然，fmax、fmin与a有关。令fmax>0；fmin>0；fmax<2*fmin。解这三个不等式，即可写出a的范围。

Answer 4

这是高中的数学题吗？貌似当年没有这类型的题。。。很像大学高数题啊~~~毕业很多年帮不了哦，亲

Answer 5

换元试试！！令z=√(1-x2)/(1+x2)