已知函数f(x)=x+alnx,(a∈R)设F(x)=f(x)-(a+2)x+(1/2)x^2,试讨论函数y=F(x)的零点个数。
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对F(x)求导。并令其为0.可以得到极值点,并判断两相邻极值点的F(x)的值是大于0还是小于0,若异号则这两个极值点之间必得一个x使得F(x)为0.
F'(x)=1+a/x-(a+2)+x=0
x^2-(a+1)x+a=0
(x-a)(x-1)=0
x1=a x2=1
F(a)=a+alna-a^2-2a+1/2a^2
F(1)=1-a-2+1/2=-a-1/2
下面要讨论a的不同取值的情况分0<a<1 ,a=1 ,a>1 三种情况。
就这三种情况可以得出不同的零点个数。
F'(x)=1+a/x-(a+2)+x=0
x^2-(a+1)x+a=0
(x-a)(x-1)=0
x1=a x2=1
F(a)=a+alna-a^2-2a+1/2a^2
F(1)=1-a-2+1/2=-a-1/2
下面要讨论a的不同取值的情况分0<a<1 ,a=1 ,a>1 三种情况。
就这三种情况可以得出不同的零点个数。
追问
答案还有讨论a与-1/2的关系。。希望您能把这道题做一次,结果详细必加分
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