f(x)=(lnx+1)/e的x次方,g(x)=(x2+x)f'(x),证明当x>0时，g(x)<1+1/e2
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f'(x)=e(x)(1/x-lnx-1)/e(2x)=(1-x-xlnx)/[xe(x )] g(x)=(x 1)(1-x-xlnx)/e(x) g(x)<1 e(-2) <=> 1-x-xlnx<[1 e(-2)]e(x)/(x 1) 令h(x)=1-x-xlnx ，h'(x)=-1-(lnx 1)=0 得x= e(-2) h(x)<=h[e(-2)]=1-e(-2)-e(-2)(-2)=1 e(-2) 令I(x)=e(x)-(x 1) I'(x)=e(x)-1>=0 (0<x) I(0) =0 ∴I(x)>0 (x>0) ∴e(x)/(x 1)>1 ∴1-x-xlnx=h(x)<=1 e(-2)<=[1 e(-2)]e(x)/( x 1) □
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