Question

全增量与全微分

二元函数的全增量Δz=(az/ax)Δx+(az/ay)Δy+o(ρ)，全微分dz=(az/ax)Δx+(az/ay)Δy，由此可以看出Δz与dz不相等，中间相差o(ρ)，自然可以知道Δx与dx也不一样，Δy与dy也不一样。
请问全微分公式为什么又是dz=(az/ax)dx+(az/ay)dy，他和全微分dz=(az/ax)Δx+(az/ay)Δy不完全相等啊？请问为什么？
我觉得一点都不公平，我感觉书上想怎么说就怎么说，增量和斜率它说相等就相等，他说不等就不等。
我举个例子：
1.书上说：Δz=dz+o(ρ)，如果做题时选择Δz=dz就是错的。（这个我可以死背）
2.书上说：dz=(az/ax)Δx+(az/ay)Δy，又说dz=(az/ax)dx+(az/ay)dy，（这个我不知道该背哪个）

Answer 1

dz也就是全微分，它是定义出来的线性函数；
而正如你所说，△z的变化因素有三个，一个是△z(x)，一个是△z(y)，还有一个是o(ρ)，
o(ρ)是自变量(x,y)在二元坐标平面的变化距离√(△x^2+△y^2)的高阶无穷小量。
总之，全是定义惹的祸~
按照这样来看你的第一个例子就有合理的解释了，是因为定义中全微分就是线性函数，这个线性函数包含了△z的三个变化因素中的前两个。
而拟具的第二个例子，只有当o(ρ)趋于零时，
即z=f(x,y)在讨论的点可微时，才有dz趋于Adx+Bdy
而书上也说了，类似于一元函数，我们可以写△x=dx，△y=dy，
什么时候可以写呢？自然是可微时喽~
这样你的第二个问题也就迎刃而解啦~

追问

你好，我再举个例子，一元函数y=x^2，这是初等函数一定可微吧，但是△y≠dy，这又怎么解释呢？真心求解。

追答

dy=d(x^2)=2xdx
△x->0时，dx=△x
=>△y=(x+△x)^2-x^2=2x△x+△x^2=2xdx+0=2xdx=dy
你从哪里看到的△y≠dy？
你这么好质疑又是怎么被这么轻易被这个不知对错的结论说服的呢？

追问

是这道题：设函数y=f(x)具有二阶导数，且f'(x)>0，f''(x)>0，△x为自变量x在点x0处的增量，△y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分，若△x>0，则0<dy<△y，

追答

囧……
好吧，他说的和你说的不一样
他只是说△y是y的变化，dy是y的微分，
只有当自变量变化量△x趋于0时连续函数的对应变化量才能等与微分。
老弟啊，你想得有点多了