Question

已知函数f(x)=(mx+2)/(x+n)

已知函数f（x）=(mx+2)／(x+n)（m属于R），并且y=f（x）-1是奇函数
⑴求m、n的值
⑵g（x）=1／f（x），判断并证明函数y=g（x）的单调性
⑶若|g（sinx）•f（a）|＜=1对定义域内一切实数X恒成立，求a的取值范围

Answer 1

1） y为奇函数
即f(x)-1+f(-x)-1=0
即(mx+2)/(x+n)+(-mx+2)/(-x+n)-2=0
(mx+2)(-x+n)+(-mx+2)(x+n)-2(n^2-x^2)=0
x^2(-2m+2)+4n-2n^2=0
得：-2m+2=0, 4n-2n^2=0
解得：m=1, n=0或2
当n=2时，f(x)=1,舍去，
故m=1, n=0, f(x)=(x+2)/x, y=2/x
2) g(x)=x/(x+2) =1-2/(x+2)
当x>-2或x<-2时，g(x)单调增
3) g(sinx)=sinx/(sinx+2)
f(a)=(a+2)/a
故有|(a+2)/a*sinx/(sinx+2)|<=1
|(1+2/a)|<=|(sinx+2)/sinx|=|1+2/sinx|, 右端最小值为sinx=-1时，其值为1
故有|1+2/a|<=1
-1=<1+2/a<=1
-2=<2/a<=0
得：a<=-1